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[Derivada]

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Mensagempor carvalhothg » Qua Set 28, 2011 15:32

Seja f(x)=g(5{x}^{2}-2{x}^{3}) uma função derivável. Se f''(2) = -122 e g'(4) = 3. Então quanto vale g''(4)?


Pessoal, como resolvo este exercício estou me enrolando todo. Eu tentei resolver e encontrei

f''(2)=g''(4) que é igual a -122. Mas acredito que eu esteja errado, vcs poderia me dar uma força?
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Re: [Derivada]

Mensagempor LuizAquino » Qua Set 28, 2011 17:42

carvalhothg escreveu:Seja f(x)=g(5{x}^{2}-2{x}^{3}) uma função derivável. Se f''(2) = -122 e g'(4) = 3. Então quanto vale g''(4)?


Aplicando a regra da cadeia, temos que:

f^\prime(x)=\left[g\left(5{x}^{2}-2{x}^{3}\right)\right]^\prime \Rightarrow f^\prime(x)= g^\prime\left(5{x}^{2}-2{x}^{3}\right)\left(10x - 6x^2\right)

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos que:

f^{\prime\prime}(x)= \left[g^\prime\left(5{x}^{2}-2{x}^{3}\right)\left(10x - 6x^2\right)\right]^\prime \Rightarrow f^{\prime\prime}(x)= g^{\prime\prime}\left(5{x}^{2}-2{x}^{3}\right)\left(10x - 6x^2\right)^2 + g^{\prime}\left(5{x}^{2}-2{x}^{3}\right)(10 - 12x)

Agora tente terminar o exercício.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}