Integral de função irracional - Dúvida!

por **rubenesantos** » Dom Set 25, 2011 18:35

Olá pessoal, boa tarde.
Estou com uma Integral de função irracional e não estou sabendo como proceder. Substituição, partes, trinômio, racionais... Já fiz várias dessas questões, mas parece que algumas de funções irracionais são bem chatinhas. Ainda estou tendo dificuldade... Tirando essa dúvida, acredito que poderei responder as demais, pois são parecidas com ela.

Aqui está a bendita:

$\int \sqrt {\frac{1-x}{1+x}}.\frac{dx}{{x}^{2}}$

Já tentei chamar toda a raíz de "t", mas quando faço isso tenho problemas com o ${{x}^{2}}$ . Daí não consigo achar o x.

Se alguém puder ajudar, ficarei muito grato.
Abraços.

por **LuizAquino** » Dom Set 25, 2011 22:27

rubenesantos escreveu: $\int \sqrt {\frac{1-x}{1+x}}\cdot \frac{dx}{{x}^{2}}$

Façamos a substituição:

$u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

$du = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\left[\frac{-2}{(1+x)^2}\right] \, dx \Rightarrow -u\,du = \frac{1}{(1+x)^2}\,dx$

Lembrando que $u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ podemos obter que $x = \frac{1 - u^2}{u^2 + 1}$ . Desse modo, temos que:

$-u\,du = \frac{1}{(1+x)^2}\,dx \Rightarrow -u\,du = \frac{1}{\left(1+\frac{1 - u^2}{u^2 + 1}\right)^2}\,dx$ $\Rightarrow -\frac{4u}{\left(u^2 + 1\right)^2}\,du = dx$

Substituindo essas informações na integral, ficamos com:

$\int \sqrt {\frac{1-x}{1+x}}\cdot \frac{dx}{{x}^{2}} = \int u \cdot \frac{1}{\left(\frac{1 - u^2}{u^2 + 1}\right)^2} \cdot \frac{-4u}{\left(u^2 + 1\right)^2}\,du = -4\int \frac{u^2}{\left(1 - u^2\right)^2}\,du$

Agora tente terminar a resolução aplicando frações parciais.

por **rubenesantos** » Seg Set 26, 2011 02:05

Beleza mano... acabou sendo uma substituição simples (apesar de trabalhosa). Quando chamava toda a raíz de "u" tinha problema para isolar o x, mas depois da explicação fiquei certo que é possível. Agora fiquei com um polinômio de grau 2 no numerador e outro de grau 4 no denominador que dá pra simplificar usando o conceito de equação biquadrada.
Usei e achei as raízes: u1 = 1, u2 = -1, u3 = 1, u4 = -1.
Agora vou trabalhar em cima dessa racional que me apareceu. Definitivamente essa é uma integral bastante trabalhosa.
Muito obrigado pela ajuda. Quando terminar de respondê-la volto aqui pra agradecer mais uma vez! =D

por **rubenesantos** » Ter Set 27, 2011 00:16

Com a ajuda do colega Luíz Aquino, consegui chegar até aqui:

$-4\left(\frac{1}{4}\int \frac{du}{u-1} + \frac{1}{4}\int \frac{du}{ {\left(u-1 \right)}^{2}} - \frac{1}{4}\int \frac{du}{u+1} + \frac{1}{4}\int \frac{du}{ {\left(u+1 \right)}^{2}} \right)$

A partir daí chego num resultado que acredito que é satisfatório. Mas, queria saber como faço pra chegar no resultado da lista, acredito que é uma integral imediata... Não consegui chegar de jeito nenhum nela. Essa é a resposta que me aparece na lista de exercícios:

$ln\left| \frac{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}} \right| - \frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}+C$

Desde já agradeço a ajuda.

por **LuizAquino** » Ter Set 27, 2011 08:07

rubenesantos escreveu:A partir daí chego num resultado que acredito que é satisfatório. Mas, queria saber como faço pra chegar no resultado da lista, acredito que é uma integral imediata...

Qual foi o resultado que você chegou? Provavelmente a sua dificuldade está em aplicar propriedades dos logaritmos. Vale a pena você revisar esse conteúdo. Se desejar, assista a sequência de vídeo-aulas "Matemática - Aula 13 - Logaritmo" (Parte de 1 até 4) do Nerckie.

por **rubenesantos** » Sex Set 30, 2011 10:34

Consegui mano! Vc é o cara.

Depois de muitas operações com as frações, consegui chegar exatamente ao resultado da lista. =D

Muito obrigado pela ajuda! =D