[Áreas: Triângulos retângulos] Razão áurea

por **Gustavo Gomes** » Sex Out 19, 2012 22:58

Olá, pessoal.

Com relação à questão abaixo:

'No retângulo ABCD da figura, os triângulos azuis tem todos a mesma área. Quanto vale $\frac{AP}{BP}$ ?

: a.png (13.87 KiB) Exibido 1490 vezes

A resposta correta é $\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$ .

Procurei associar os lados dos triângulos retângulos, baseando-me na igualdade das áreas, mas não consegui argumentos para estabelecer a proporção áurea entre AP e BP.......

Aguardo, grato.

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 01:24

Isto resolver seu exercício , como mostra o link : http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio .

Aplicando no exercício ,

$\frac{|BP| + |BA|}{|PA|} = \frac{|PA|}{|PB|} = \phi = 1 + \frac{|PB|}{|PA|} \implies 1 + \phi^{-1} = \phi \implies \phi^2 -\phi - 1 = 0$

Resolvendo ,chegará no resultado $\frac{1 +\sqrt{5}}{2}$