UEFS 2012.1

por **luizmario** » Ter Jul 10, 2012 13:16

O triângulo QRN, na figura, foi obtido, girando-se o triângulo MNO em torno do ponto N.
Sabendo-se que MNM=90°,NQR=42°,NRQ=78° e, considerando-se P o ponto de intersecção
dos segmentos OR e QN, pode-se afirmar que o ângulo OPN mede.

A resposta correta é 105°,porém sempre outro que resultado

Prezado luizmario,

Por favor, antes de postar um tópico leia as regras deste fórum:

viewtopic.php?f=9&t=7543

Em especial, vide a regra 3.

Por favor, corrija esse problema.

Atenciosamente,
Equipe de Moderadores.[/quote]

por **LuizAquino** » Ter Jul 10, 2012 14:53

luizmario escreveu:

O triângulo QRN, na figura, foi obtido, girando-se o triângulo MNO em torno do ponto N.
Sabendo-se que MNM=90°,NQR=42°,NRQ=78° e, considerando-se P o ponto de intersecção
dos segmentos OR e QN, pode-se afirmar que o ângulo OPN mede.

A resposta correta é 105°,porém sempre outro que resultado

Observe a figura abaixo. Os ângulos em verde foram dados no problema. Os ângulos em vermelho podemos calcular.

: figura1.png (15.62 KiB) Exibido 2495 vezes

Do triângulo QRN, foram dados os ângulos $N\hat{Q}R = 42^\circ$ e $N\hat{R}Q = 78^\circ$ . Portanto, temos que $Q\hat{N}R = 60^\circ$ .

Os triângulos MNO e QRN são congruentes, já que um é apenas uma rotação do outro. Sendo assim, os seus ângulos internos correspondentes possuem as mesmas medidas. Teremos que $O\hat{M}N = 42^\circ$ , $M\hat{O}N = 78^\circ$ e $O\hat{N}M = 60^\circ$ .

Como $M\hat{N}Q = 90^\circ$ e $M\hat{N}O = 60^\circ$ , temos que $O\hat{N}P = 30^\circ$ . Disso concluímos que $O\hat{N}R = 90^\circ$ .

Novamente, como os triângulos MNO e QRN são congruentes, os seus lados correspondentes possuem as mesmas medidas. Temos então que $\overline{ON} = \overline{NR}$ . Sendo assim, o triângulo ONR é isósceles, sendo que o ângulo oposto a base mede 90º.

Agora tente finalizar o exercício.

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