Geometria Plana/desigualdades geométricas

[Alison Santos]

Enunciado:Sejam A, B e C pontos dois a dois distintos. Mostre que AB + BCAC, e que AB + BC = AC se , e somente se, B está no segmento AC
Gostaria de saber se a resposta abaixo esta certa.
Resposta: Sejam os pontos A,B e C pontos dois a dois distintos e pertencentes a mesma reta, ou seja, são todos colineares, com B entre AC.
Com isso iremos mostrar que AB + BC = AC.
Seja x, y e z as respectivas coordenadas dos pontos A,B e C , com x<y<z.
Temos que AB= x-y, BC= z-y e AC= z-x.
Temos ainda que AB+BC=y-x+z-y=z-x=AC.
Caso B não estivesse contido em AC teríamos duas possibilidade, A entre BC e C entre AB.
1ª- Utilizando o mesmo princípio temos:
BA+BC>AC.
2ª - de modo análogo temos:
BC+BA>AC
Agora iremos verificar A,B e C pontos não colineares.
Traçando três seguimentos de retas com extremidades em A e B, B e C< A e C, teremos o triângulo ABC.
Pelo teorema da desigualdade triangular temos AC<AB+BC.
Sendo assim, ACAB+BC e AC= AB+BC se e somente se B estiver entre A e C.