[Geometria Euclidiana Plana] Prove o teorema

por **stanley tiago** » Qua Abr 11, 2012 13:00

Bom dia . eu estou no primeiro ano de licenciatura em matemática .
A minha professora de GE pediu para que provássemos um teorema . Esse teorema é do primeiro capítulo de geometria plana , que diz o seguinte :

a) Se P e Q estão em lados opostos de uma reta r , e Q e T estão em lados opostos de r , então P e T estão do mesmo lado de r .

b) Se P e Q estão em lados opostos de uma reta r , e Q e T estão no mesmo lado de r , então P e T estão em lados opostos de r .

Eu tentei fazer da sequinte forma considera a hipótese e negar a tese e chegar numa conclusão por absurdo .
Mas eu acho que isso não é uma proposição simples do tipo $(p\Rightarrow q)$ .
Eu acho que é desse tipo $(p \Lambda q)\Rightarrow s$ .

a) Se P e Q estão em lados opostos de uma reta r , e Q e T estão em lados opostos de r , então P e T não estão do mesmo lado r .

Só que eu estou perdido , eu não consigo formalizar o meu raciocínio. E por isso pesso a ajuda de voçês !

por **Guill** » Sáb Abr 14, 2012 19:49

Partiremos da seguinte proposição: '' Uma reta divide um plano em duas partes.''

Se um ponto fora da reta não pertence a um dos lados, precisa pertencer ao outro lado do plano. Essa segunda afirmação pode ser demonstrada através de conjuntos:

Seja $\alpha$ um plano qualquer. Traçando uma reta qualquer, dividiremos esse plano em dois semiplanos. Agora, trataremos os planos como conjuntos de pontos, onde cada ponto que forma o plano é um elemento diferente. Os semiplanos A e B e a reta R são conjuntos de pontos, onde:

$A\cap B = \phi A\cap C = \phi A\cap R = \phi A\cap B \cap R = \phi A \cup B \cup R = \alpha$

Seja a um ponto no plano (fora da reta r), onde a não pertence a nenhum dos dois lados. Por definição $a\in \alpha \rightarrow a\in A \cup B \cup R \rightarrow a\in R$ . Esse absurdo prova a sentença.

Dessa maneira, se P e Q estão em lados opostos de uma reta, P está do lado x e Q está do lado y. Como Q está do lado oposto a T, pela proposição T está do lado x, o que mostra que P e T estão do mesmo lado.