cicunferencia

por **alfabeta** » Qua Fev 29, 2012 23:52

Na figura a seguir ABCD é um quadrado e TDCQ um trapézio isósceles inscrito em uma circunferência (l) de raio igual a
raiz de5 / 2 cm. Os segmentos de reta AT e BQ são tangentes à circunferência (l) em T e Q. Sabendo-se que AT e BQ têm
comprimento igual ao dobro do lado do quadrado ABCD, determine a medida do segmento de reta AB.

resposta: raiz de 2 sobre2.

tentativa:eu traçei uma reta de A até o centro da circunferencia. Desta forma, eu disse que formou-se o triangulo isosceles ATO, sendo AT = AO = 2L. Daí aplique a propriedade de propriedade de potencia de ponto com a reta tangente AT e a secante AE (reta que sai de A passa pelo centro e vai até o ponto E que criei na circunferencia). Desta forma:

AT ao quadrado= ( 2L - R)(2L +R) Mas esta conta não dá certo

Por favor, me ajude a resolver.

Se puder , me explica também como coloco as contas direitinho, como quadrado, raiz e frações.

Agradeço antecipadamente.

por **LuizAquino** » Qui Mar 01, 2012 16:09

alfabeta escreveu:Na figura a seguir ABCD é um quadrado e TDCQ um trapézio isósceles inscrito em uma circunferência (l) de raio igual a
raiz de5 / 2 cm. Os segmentos de reta AT e BQ são tangentes à circunferência (l) em T e Q. Sabendo-se que AT e BQ têm
comprimento igual ao dobro do lado do quadrado ABCD, determine a medida do segmento de reta AB.

questao 3.jpg (9.41 KiB) Exibido 1180 vezes

alfabeta escreveu:tentativa:eu traçei uma reta de A até o centro da circunferencia. Desta forma, eu disse que formou-se o triangulo isosceles ATO, sendo AT = AO = 2L. Daí aplique a propriedade de propriedade de potencia de ponto com a reta tangente AT e a secante AE (reta que sai de A passa pelo centro e vai até o ponto E que criei na circunferencia). Desta forma:

AT ao quadrado= ( 2L - R)(2L +R) Mas esta conta não dá certo

O triângulo ATO não é isósceles. Vide a figura abaixo.

: figura1.png (6.13 KiB) Exibido 1180 vezes

Ao invés da construção que você tentou, considere a construção ilustrada na figura abaixo.

: figura2.png (6.39 KiB) Exibido 1180 vezes

Usando que DEF é um triângulo retângulo e a relação de potência entre segmento tangente e segmento secante na circunferência, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} x(x + y) = (2x)^2 \\ y^2 + x^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2 \end{cases}$

Agora basta resolver esse sistema para determinar o valor de x.