semicircuferência em triângulo

por **Jean Cigari** » Qui Jun 16, 2011 11:00

Não consigo resolver esse exercicio da UF-MG, ele esta na parte de semelhança de triangulos do meu livro, e eu não achei nenhum outro exercicio parecido com ele ou que falasse de semicircuferência em triângulo, gostaria de uma ''luz'', para onde eu tenho que seguir e aonde eu encontraria algo relacionado a isso. Obrigado
P.S: a resposta do livro é r=a (raiz quadrada de dois - 1), o que me deixou mais confuso ainda :S

UF-MG Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de lado a e F é o ponto de tangência da diagonal BD com a semicircufêrencia de centro E. Calcule o raio da semicircuferência em função de a.
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por **souzafontes** » Qui Jun 16, 2011 12:56

seguinte: pelo ponto de tangência passa uma reta normal que passa pelo centro da semicircunferência.
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por definição, se AB=a, então BD= $a\,\sqrt[]{2}$ ,
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BF é igual ao raio r da semicircunferencia que tbm é igual a AE (ou seja, AE=BF=r)
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e EB é igual ao lado 'a' MENOS AE (EB=a-r)

percebendo então que os triângulos EBF e ABD são semelhantes, segue

$\frac{a\,\sqrt[]{2}}{a}=\frac{a-r}{r}$

$\sqrt[]{2}=\frac{a-r}{r}$

$r\,\sqrt[]{2}=a-r$

$r(\sqrt[]{2}+1)=a$

$r=\frac{a}{(\sqrt[]{2}+1)}*\frac{(\sqrt[]{2}-1)}{(\sqrt[]{2}-1)}$

$r=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{2-1}$

$r=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{1}$

$r=a(\sqrt{2}-1)$

por **Jean Cigari** » Qua Jun 22, 2011 11:16

Entendi, obg

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