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Mensagempor Danilo » Sáb Set 01, 2012 21:11

Um poliedro convexo tem p faces triangulares, q faces quadrangulares e 8 vértices. Sabendo-se que a 6 de seus vértices concorrem q + 1 arestas e aos outros dois vértices concorrem p/2 arestas, determine o número de faces de cada tipo nesse poliedro.

Pessoal, eu tenho a resolução desse exercício. Estou aqui justamente para que alguém me ajude a entender um determinado trecho da resolução. Vou postar toda a resolução e vou mostrar depois o que eu não entendi.

'' O poliedro possui p faces triangulares e q faces quadrangulares. Disso vem: A = \frac{3p + 4q}{2}

Agora a parte que eu não entendi:

''Em 6 vértices concorrem (q+1) arestas e nos outros dois \frac{p}{2} arestas. Cada aresta esta contida em 2 vértices distintos, ou seja, essa expressão corresponde ao dobro da quantidade de arestas do poliedro .

6 (q+1) + 2(p/2) = 2A sendo A o número de arestas.

O que eu não entendi é justamente porque a expressão corresponde ao dobro do número de arestas e onde que ''e nos outros dois \frac{p}{2} arestas'' entra nessa história... Muito grato se puderem ajudar, pois não passei frente porque empaquei nisso.
Danilo
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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