Poliedro

por **flavio2010** » Seg Jun 28, 2010 23:47

Um poliedro convexo tem 5 faces quadrangulares e 4 faces triangulares. O número de diagonais é:
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12

por **vyhonda** » Dom Jul 04, 2010 01:01

Para calcularmos as diagonais, primeiramente deve-se ter algumas informações como nº de vertices, nº de faces, nº de arestas ...

Para tal, utilizaremos a Relação de Euler que é a seguinte :: V + F = A + 2, onde V é o nº de vértices, F é o nº de faces e A é o nº de arestas.

Faces = 5 + 4 , pois temos 4 trinagulos e 5 quadrados
Arestas = $\frac{5.4 + 4.3}{2}$ (pois cada um dos 5 quadrados possui 4 arestas e cada um dos 4 triângulos possui 3 arestas)

V + 9 = 16 + 2 , portanto V=9.

Com esses dados pode-se calcular o número de diagonais de um poliedro utilizando a fórmula :: $D = \frac{v(v-1)}{2} - A - {\sum_{}^{}}_{df}$

onde: - D : Total de diagonais do poliedro
- v : nº de vértices do poliedro
- A : nº de arestas do poliedro
- ${\sum_{}^{}}_{df}$ : Somatória das diagonais das faces

Dessa forma: $D = \frac{9(9-1)}{2} - 16 - 10$

- Resposta :: Alternativa D

OBS:: Para Calcular ${\sum_{}^{}}_{df}$ , basta utilizar a fórmula da diagonal para figuras planas $d = \frac{n(n-3)}{2}$ , para cada figura geométrica, no caso apenas o quadrado possui diagonal, e cada quadrado possui 2 diagonais.

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