[Volume de Pirâmides internas à um cubo]

por **Gustavo Gomes** » Sáb Fev 15, 2014 22:01

Ola!
Em um cubo de volume V, sejam F1 e F2 duas faces paralelas. Uma pirâmide tem F1 como base e vértice no centro de F2 e outra pirâmide tem F2 como base e vértice no centro de F1.
Qual o volume da parte comum a essas pirâmides?

A resposta é V/12.

Não estou conseguindo definir a área da secção que representa a base dessas partes comuns....

Aguardo. Grato.

por **young_jedi** » Dom Fev 16, 2014 19:41

as piramedes se interceptam no centro do cubo portanto a metade superior de cada piramede esta contida dentro da outra sendo esta a região comum entre elas
temos portanto que calcular o volume da metade superior de cada uma das metades superiores

: piram.png (7.06 KiB) Exibido 2770 vezes

sendo o lado do quadrado igual a x então a altura dessas piramdes sera x/2 e o lado da base por semelhança de triangulos tambem sera x/2
portanto o volume de cada uma sera

$V_1=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}$

$V_1=\frac{x^3}{24}$

como o volume comum é a soma do volume das duas piramedes então

$V_c=2.V_1=\frac{x^3}{12}$

mais como V=x^3

$V_c=\frac{V}{12}$

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