[Equação de planos] Verificar meu raciocínio

por **MrJuniorFerr** » Qua Out 10, 2012 17:03

Olá pessoal, olhem este exercício:
Escreva as equações paramétricas do plano paralelo ao eixo z e que contém a interseção dos planos $\pi1: x+2y+3z=4$ e $\pi2: 2x+y+z=2$ .

Gabarito:
$x=\frac{1}{3}-t$
$y=\frac{1}{3}+5t$
z=1+1s-3t

Eu o fiz, mas não tenho certeza se fiz corretamente pois não bateu com o gabarito. Por favor, analisem e vejam se meu raciocínio está correto.

A primeira coisa que fiz foi achar a interseção dos dois planos dados. Fiz o sistema por escalonamento, e achei este ponto $I(x,\frac{-6+15x}{-3},3x$ ). Sabe-se que a interseção de dois planos é uma reta, portanto este ponto I é um ponto pertencente desta reta. Atribuindo valores ao x do ponto I, temos:
Atribuindo x=0,
encontramos este ponto da reta:
A(0,2,0)
Atribuindo x=1,
encontramos este ponto da reta:
B(1,-3,3)
Portanto, temos 2 pontos da reta e posso achar o vetor diretor $\overrightarrow{v}$ , então temos $\overrightarrow{AB}=(1,-5,3)$ .
Para achar a equação paramétrica do plano, preciso de mais um vetor que não seja colinear a $\overrightarrow{AB}$ . Somente com estes dados não sei achar mais um vetor não colinear ao vetor obtido.
Então, decidi primeiro encontrar a equação geral do plano.
Primeiro, atribui mais um valor ao x de $I(x,\frac{-6+15x}{-3},3x)$ para ter mais um ponto da reta (sei que não havia necessidade, pois eu poderia usar um dos pontos já obtidos, mas optei por faze-lo).
Atribuindo x=2,
obtive C(2,-8,6).
Então, para obter a equação geral do plano, tenho este ponto C e sei que o plano é paralelo ao eixo z, ou seja, a variável z é livre.
Então temos:
ax+by+d=0

, dividindo a equação por a

$x+\frac{by}{a}+\frac{d}{a}=0$ , colocando $m=\frac{b}{a}$ e $n=\frac{d}{a}$ temos:

x+my+n=0

, substituindo o ponto C(2,-8,6)

2-8m+n=0

, isolando o n

n= -2+8m

, substituindo o valor de n em x+my+n=0

, atribuindo um valor a variável m

m=2

$\pi: x+2y+14=0$

Portanto, encontrei a equação geral do plano a partir deste método que aprendi com o young_jedi daqui do ajudamatematica.com
Agora preciso achar mais um ponto qualquer pertencente a este plano e atribuindo valor ao x, temos
x=0

,

Então encontrei um ponto D(0,-7,0) pertencente ao plano.
Fazendo $\overrightarrow{AD}$ , encontro um vetor não colinear ao $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AD}=(0,-9,0)$

Agora, tenho 2 vetores coplanares $\overrightarrow{AB}=(1,-5,3)$ e $\overrightarrow{AD}=(0,-9,0)$ e não colineares e o ponto A(0,2,0).
Então obtive que a equação paramétrica do plano é:

x=s

Estou certo? Obrigado

por **young_jedi** » Qua Out 10, 2012 19:18

MrJuniorFerr

voce começou bem o exercicio
encontrando a equação da reta I, agora oque voce precisa é encontrar um vetor não colinear a $\overrightarrow{AB}$
que seja coplanar, note que se o plano é paralelo ao eixo z um vetor um vetor coplanar seria

V=(0,0,1)

agora voce tem dois vetores não colineares e que definem o plano $\overrightarrow{V}$ e $\overrightarrow{AB}$

com esses dois da pra encontrar a equação do plano
não é necessario encontrar a forma geral da equação do plano, da maneira que voce estava fazendo seria muito mais trabalhoso.