comprimento da mediana

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Mensagempor Luiz fernando » Qui Ago 08, 2013 15:03

calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C(5,-1)
ja tentei pitagora mais nao sei como concluir pra achar a mediana
me ajunde por favor
Luiz fernando
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Re: comprimento da mediana

Mensagempor MateusL » Ter Ago 20, 2013 15:25

Primeiramente, achemos as coordenadas do baricentro, o qual chamarei de R.

R=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)=\left(\dfrac{0+3+5}{3},\ \dfrac{0+7-1}{3}\right)=\left(\dfrac{8}{3},\ 2\right)

Sabe-se que AR=\dfrac{2}{3}\cdot AM (a distância de um vértice até o baricentro é igual a \dfrac{2}{3} do comprimento da mediana)

Basta encontrar AR (é só calcular a distância entre A e R) econseguirás encontrarás AM.

Abraço!
MateusL
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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