Geometria Analítica

por **Celma** » Seg Jul 08, 2013 12:33

Bom dia!

Esta questão é de um concurso.

Num plano cartesiano, uma circunferência de equação x² + y² + ax+ by= 24 passa pelos pontos (2,2) e (4,0). Pode-se afirmar que o centro da circunferência está no

(A) primeiro quadrante, e o raio é maior do que 1.
(B) primeiro quadrante, e o raio é menor do que 1.
(C) terceiro quadrante, e o raio é menor do que 1.
(D) terceiro quadrante, e o raio é maior do que 1.
(E) quarto quadrante, e o raio é maior do que 1.

Não estou conseguindo montar a equação da circunferência. Pensei em começar pela distância entre pontos mas também não deu certo, pois é exatamente o que pede o enunciado.

Obrigada

por **e8group** » Seg Jul 08, 2013 14:32

Dica : Completar quadrados ...

Observe que ,

$x^2 + y^2 + ax+ by= (x^2 + 2\cdot x ( a/2) + a^2/4) + (y^2 + 2\cdot y (b/2) + b^2/4) - a^2/4 - b^2/4 = (x+a/2)^2 + (y+b/2)^2 - \frac{a^2 +b^2}{4}$ .

Assim , $x^2 + y^2 + ax+ by= = 24 \iff (x+a/2)^2 + (y+b/2)^2 = 24 + \frac{a^2 +b^2}{4}$ .

Agora tente concluir usando o ponto dado .

por **Celma** » Ter Jul 09, 2013 18:54

Tudo bem?

bom, eu entendi perfeitamente a parte desenvolvida por você, tentei continuar mas cheguei a uma equação com expoente 4.
Considerei o centro da circunferência como (a,b) e a partir daí tentei calcular a distância entre um dos pontos dado (2,2); (4,0) e (a,b) igualando à r = 24 + (a²/4 + b²/4), e também cheguei a uma equação com expoente 4.
Em nenhum dos casos eu consegui isolar uma incógnita.

*-)

Acho que preciso de mais uma dica

por **e8group** » Ter Jul 09, 2013 22:14

Boa noite .Só para lembrar : A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo (centro da circunferência),seja M = (m,n)

este ponto e suponha r >0

(fixo) a distancia dos pontos equidistantes de

.Então um ponto P=(x,y)

pertence a esta circunferência , sse

$dist(P,M) = r \iff \sqrt{(x-m)^2 + (y-n)^2} = r \iff (x-m)^2 + (y-n)^2 = r ^2 (*)$ .

Comparando a equação (*)

com $(x + a/2)^2 + (y+b/2)^2 = 24 +\frac{a^2 + b^2}{4}$ temos :

$-a/2 = m , -b/2 = n , r = \srqt{24 +\frac{a^2 + b^2}{4}}$ .Assim , (-a/2,-b/2)

é

o ponto médio da circunferência . Agora para encontrar as constantes a,b

utilize os dois pontos dados .Tente concluir e comente as dúvidas .

por **Celma** » Qui Jul 11, 2013 19:51

Boa noite!

achei meu erro!

Eu estava elevando r², por isso chegava sempre em uma equação de quarto grau.

Agora deu certo, muito obrigada pela paciência!

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