manuel_pato1 escreveu:Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
a) F(0,0) eixo y=0 e passa por A(3,4)
(...)
Então , não entendi muito bem o que fazer nesse exercício.
como o eixo é y= 0 , a parábola é do tipo, y² = 2px , correto?
Pense um pouco: se o foco é em (0, 0), então o vértice não pode ser em (0, 0). Sendo assim, como pode a equação ser esta que você escreveu, na qual o vértice seria em (0, 0)?
Na verdade, como o eixo é y = 0 e o vértice não está em (0, 0), então ele está em
, com
um número diferente de zero. Sendo assim, a equação será do tipo
ou
(dependendo da concavidade da parábola).
Precisamos então descobrir o valor de p e de
.
No exercício foram fornecidos o foco F = (0, 0) e o ponto A = (3, 4). Por outro lado, sabemos que qualquer ponto de uma parábola é tal que sua distância até o foco é igual a sua distância até a reta diretriz.
Calculando a distância de A até F, obtemos:
Sendo assim, a distância de A até a reta diretriz deve ser 5. Lembrando que o eixo é y = 0, temos que a reta diretriz será do tipo x = k (ou ainda, x - k = 0). Desse modo, temos que:
Podemos ter então duas possibilidades para a reta diretriz: (i) x = -2; (ii) x = 8. (Note que isso significa que na verdade o exercício terá duas respostas corretas.)
Possibilidade (i)Considerando que a reta diretriz seja x = -2, temos que a distância do foco F = (0, 0) até essa reta será 2. Sendo assim, teremos que p = 2. Disso concluímos que o vértice será V=(-1, 0). Além disso, teremos que a concavidade da parábola está voltada para a direita.
Portanto, a equação da parábola será dada por:
Para determinar a interseção dessa parábola com o eixo x, basta substituir y = 0 na sua equação. Obtemos então o ponto (-1, 0).
Já para determinar a interseção dessa parábola com o eixo y, basta substituir x = 0 na sua equação. Obtemos então os pontos (0, -2) e (0, 2).
Possibilidade (ii)Considerando que a reta diretriz seja x = 8, temos que a distância do foco F = (0, 0) até essa reta será 8. Sendo assim, teremos que p = 8. Disso concluímos que o vértice será V=(4, 0). Além disso, teremos que a concavidade da parábola está voltada para a esquerda.
Portanto, a equação da parábola será dada por:
Para determinar a interseção dessa parábola com o eixo x, basta substituir y = 0 na sua equação. Obtemos então o ponto (4, 0).
Já para determinar a interseção dessa parábola com o eixo y, basta substituir x = 0 na sua equação. Obtemos então os pontos (0, -8) e (0, 8).
manuel_pato1 escreveu:b) F(0,-1) eixo x=0 e passa por A(4,2)
Tente resolver esse item considerando o procedimento utilizado para o item anterior. Note que nesse caso a equação da parábola será do tipo
ou
(dependendo da concavidade da parábola).