Equação vetorial da reta

[Danilo]

Dados os planos 1: x-y+z+1 = 0 e 2 : x+y-z-1=0, determine o plano que contém 1
interseção com 2 e é ortogonal ao vetor (1,1,-1).

Bom, sei que a interseção entre dois planos é uma reta... e como encontrar equação de planos e retas mas não sei como aplicar no exercício. Grato desde já!

[MarceloFantini]

Encontre a reta que é interseção de com . Uma forma de fazer é encontrar um vetor tal que o produto vetorial dele com o vetor diretor da reta seja .

[Danilo]

Encontre a reta que é interseção de com . Uma forma de fazer é encontrar um vetor tal que o produto vetorial dele com o vetor diretor da reta seja .

Bom, a primeira coisa que fiz foi fazer o produto vetorial das normais dos planos dados. Para mim, a normal encontrada será o vetor diretor da reta que quero encontrar (corrijam-me se eu estiver errado.). Aí depois eu encontrei o ponto (0,1,0) que é a solução do sistema dos planos dados... e encontrei uma equação (que nao corresponde a resposta correta...). Onde estou errando?

[MarceloFantini]

Bom, a primeira coisa que fiz foi fazer o produto vetorial das normais dos planos dados. Para mim, a normal encontrada será o vetor diretor da reta que quero encontrar (corrijam-me se eu estiver errado.). Aí depois eu encontrei o ponto (0,1,0) que é a solução do sistema dos planos dados... e encontrei uma equação (que nao corresponde a resposta correta...). Onde estou errando?

O produto vetorial realmente é o vetor diretor da reta que você quer encontrar, mas você quer encontrar um plano. A outra condição que este plano deve satisfazer é ser ortogonal a , logo tome um vetor que seja ortogonal a ele, como .

Todas as condições foram satisfeitas agora. A equação será , onde é o vetor que você encontrou no produto vetorial.