Geometria analitica - vertices do triangulo

por **Dayannearaujo** » Qui Abr 19, 2012 17:21

a questão é a seguinte: Dois vértices de um triangulo são A(4,1) e B(10,4). Determine as coordenadas do terceiro ponto sabendo que a area é 36,6 e que o trinagulo é retangulo.

eu consegui fazer uma parte do exercicio:

AB * AC

(10-4)i + (4-1)j * (x-4)i + (y-1)j
6i*(x-4)i + 3j*(y-1)j
6x+3y-27 = 0 ---> primeira equação

resolve-se a matriz:
i j k
6 3 0
x-4 y-1 0, obtendo-se: k*(6y-6) - (3x - 12)

agora eu não consegui sair dai, sei que tem q elevar ao quadrado, mas nao sei por onde começar! me ajudeeem! esse trabalho é pra amanha, vale bem nota! :/

obrigada.

por **LuizAquino** » Sex Abr 20, 2012 00:07

Dayannearaujo escreveu:a questão é a seguinte: Dois vértices de um triangulo são A(4,1) e B(10,4). Determine as coordenadas do terceiro ponto sabendo que a area é 36,6 e que o trinagulo é retangulo.

Dayannearaujo escreveu:eu consegui fazer uma parte do exercicio:

AB * AC

(10-4)i + (4-1)j * (x-4)i + (y-1)j
6i*(x-4)i + 3j*(y-1)j
6x+3y-27 = 0 ---> primeira equação

Nesse caso, você está considerando que o ângulo reto está no vértice A. Como o exercício não especificou em qual vértice esse ângulo está, então na verdade a resolução deveria ser dividida em três casos: ângulo reto em A; ângulo reto em B; ângulo reto em C.

Dayannearaujo escreveu:resolve-se a matriz:
i j k
6 3 0
x-4 y-1 0, obtendo-se: k*(6y-6) - (3x - 12)

Você sabe que a área do triângulo ABC é 36,6. Além disso, você também sabe que essa área é igual a $\frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|$ .

Sendo assim, temos que:

$\frac{1}{2}\sqrt{0^2 + 0^2 + [(6y-6) - (3x - 12)]^2} = 36,6$

$\sqrt{(6y - 3x + 6)^2} = 73,2$

|6y - 3x + 6| = 73,2

Desse modo, você precisa resolver o sistema:

$\begin{cases} 6x + 3y - 27 = 0 \\ |6y - 3x + 6| = 73,2 \end{cases}$

Esse sistema pode ser dividido em dois casos.

Caso 1) $6y - 3x + 6 \geq 0$

$\begin{cases} 6x + 3y - 27 = 0 \\ 6y - 3x + 6 = 73,2 \end{cases}$

Caso 2) 6y - 3x + 6 < 0