[Polinômio] com raiz complexa

por **carolsiva** » Qui Jan 09, 2014 09:45

Olá pessoal, estou com dúvida neste exercício:

Dado o polinômio p(x) = x³ - 11x² + 20x - 18 e sabendo-se que uma das raízes é o número complexo 1+i, em que i² = -1 e, que a raiz real desse polinômio é um número inteiro m, então m é
A)múltiplo de 2
B)primo
C)múltiplo de 3 <-- resposta

Tentei dividir o polinômio por briot-ruffini para abaixar o grau, mas não cheguei a nada!

por **anderson_wallace** » Qui Jan 09, 2014 15:13

Observe o seguinte,

Sejam

q: quociente
g: divisor
r: resto
f: dividendo

É verdadeira a relação, qg+r=f

, daí faça g=(x-a)

onde a é uma das raízes do polinômio, nesse caso a=1+i.
g=(x-(1+i)).

Note que apesar de não conhecermos q nem r, sabemos que q é um polinômio de grau dois, visto que é o resultado da divisão de um polinômio de grau três por um polinômio de grau um, então q é do tipo $a{x}^{2}+bx+c$ , além disso, como o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, então o grau de r é 0, logo r é uma constante que chamaremos de d. Por fim nossa expressão vai ficar:

$qg+r=f\Rightarrow(a{x}^{2}+bx+c)(x-(1+i))+d={x}^{3}-11{x}^{2}+20x-18$

Agora vc pode montar um sistema e encontrar os valores de a, b, c e d.

É um processo bastante trabalhoso, mas depois que encontrar esses valores vc vai poder escrever o polinômio $q=a{x}^{2}+bx+c$

Daí poderá resolver a equação q=0 para encontrar as outras duas raízes que faltam, inclusive a raíz real. Mas novamente, dá muito trabalho.

Já adianto que,

$a=1\\ b=-10+i\\ c=9-9i\\ d=36$

Tente chegar nesses valores para continuar a resolução.

Preste bastante atenção nesse procedimento que vc vai notar que está correto e que realmente vai chegar nos resultados, mas lhe adianto, dá muita conta.

por **carolsiva** » Qui Jan 09, 2014 18:50

Correto! Mas consegui achar um maneira mais fácil:

Se 1+i é raiz, seu conjugado também será (1-i)
Logo, pelas relações de Girard:
-b/a = r1+r2+r3
-(-11)/1 = 1 + i + 1 - i + m = 11
2 + m = 11
m = 9