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Determine a e b

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Determine a e b

por jcmatematica » Seg Ago 04, 2014 22:52

Determine a e b para que -x³ + 2x² - ax + 2b seja divisível por x² - x + 1

jcmatematica: Usuário Dedicado; Mensagens: 46; Registrado em: Ter Jul 29, 2014 23:36; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Licenciatura em matematica; Andamento: formado

Re: Determine a e b

por Russman » Ter Ago 05, 2014 17:30

Para que um polinômio p(x)

p(x)

seja divisível por um outro q(x)

q(x)

é preciso que exista um polinômio s(x)

s(x)

tal que $\forall \ x$ se verifique a identidade

p(x) = s(x) q(x)

p(x) = s(x) q(x)

No seu caso, p(x)

p(x)

é do 4° grau e q(x)

q(x)

do 3° grau. Assim, s(x)

s(x)

deve ser, necessariamente, do 1° grau!
Portanto, tome s(x) = kx+c

s(x) = kx+c

, onde

e

são números reais tais que

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = (kx+c)(x^2 - x +1)

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = (kx+c)(x^2 - x +1)

Daí, desenvolvendo,

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = kx^3 -kx^2 + kx + cx^2 - cx + c

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = kx^3 -kx^2 + kx + cx^2 - cx + c

e evocando a igualdade de polinômios* vem que

-1=k

-1=k

-k+c = 2

k-c = -a

2b = c

Daí,

k=-1

c=1

a = 2

$b = \frac{1}{2}$

Verifique que

-x^3 + 2x^2 -2x+1 = -x^3 +x^2 -x + x^2 - x + 1

-x^3 + 2x^2 -2x+1 = -x^3 +x^2 -x + x^2 - x + 1

* A igualdade de polinômios afirma que , dados dois polinômios finitos
$p_1(x) = \sum_{i=0}^{N_1}a_ix^i$ e $p_2(x)\sum_{i=0}^{N_2} b_ix^i$

a igualdade p_1(x) = p_2(x)

p_1(x) = p_2(x)

somente verificar-se-a se

N_1 = N_2

(os pol. têm o mesmo gau.) e para cada

de

a

(N_1 = N_2= N) tem-se a_i = b_i

a_i = b_i

.

"Ad astra per aspera."

Russman: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1183; Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06; Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO; Área/Curso: Física; Andamento: formado

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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = { $x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N$ } e B = { $x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z$ }, então o número de elementos A $\cap$ B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = { $x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N$ } você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = { $x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z$ } você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima

Bom estudo, :y:

:y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:

Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

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