Questão (UEL)

por **Jhennyfer** » Sáb Mar 30, 2013 15:42

No calculo de (x²+xy)^15, o termo em que o grau de x é 21 vale:
Ps: a resposta é 5005x^21y^9, preciso de ajuda com a resolução
Att, Jhenny ;*

por **e8group** » Sáb Mar 30, 2013 16:32

Observe que $(x^2 + xy)^{15} = (x[x+y])^{15} = x^{15}[x+y]^15$ .O termo em que o grau de

é grau 21 será o termo que contém "x de grau 6" de $[x+y]^{15}$ .Logo pelo binômio de newton ,tiramos que o termo que possui x com grau 6 é $\binom{15}{9} x^{15-9} \cdot y^{5} = \frac{15!}{9!(15-9)!}x^{6} \cdot y^5$ .Multiplicando por $x^{15}$ resulta $\frac{15!}{9!(15-9)!}x^{21} \cdot y^5$ .

Alternativamente , visto que (x^2 + xy)^15 = (x[x+y])^15 = x^15[x+y]^15

(x^2 + xy)^15 = (x[x+y])^15 = x^15[x+y]^15

.Cada termo ou parcela do desenvolvimento $(x+y)^{15}$ pelo binômio de newton pode ser escrito por $\binom{15}{k} x^{15 -k} y^k$ para k = 0 , 1,2,3,...,15

.Assim , se k = 0

é o primeiro termo , k = 1

segundo termo e assim sucessivamente . Aplicando a distributiva de $x^{15}$ sobre $(x+y)^{15}$ expandido pelo binômio de newton ,cada parcela(ou termo ) será multiplicada(o) por $x^{15}$ , então o mesmo será dado por $\binom{15}{k} x^{30 -k} y^k$ . Fazendo 30 - k = 21

obtemos

. Segue então o resultado ..

por **Jhennyfer** » Sáb Mar 30, 2013 19:43

Não compreendo como funciona essa parte de grau de x, podia me explicar melhor isso?

por **e8group** » Sáb Mar 30, 2013 20:33

Digamos que x^k

(k natural) ,o termo

possui grau k .Se queremos encontar o termo que o grau de x é 21 .Como ja temos $x^{15}$ (o grau de x é 15) multiplicando $(x+y)^{15}$ , a conclusão é que precisamos encontrar um termo de $(x+y)^{15}$ em que o grau de

é 6 . Pois 6 + 15 = 21

, lembre-se em produto de potências de mesma base conserva a base e soma os expoentes . Assim, por exemplo : $2^4 \cdot 2^8 = 2^{4+8} = 2^{12}$ .Em resumo ao desenvolver $(x+y)^{15}$ pelo binômio de newton precisamos encontar um termo que contém x de grau 6 ,isto é, x^6

(não importa o grau de y) por que $x^{15} \cdot x^6 = x^{21}$ .Segue então que o termo que contém x com o grau 6 é $\binom{15}{9} x^{15-9} \cdot y^{5}$ conforme eu já postei acima , inclusive uma solução alternativa .

Só por curiosidade com auxílio do site wolframalpha ,veja a forma expandida de $(x+y)^{15}$ no seguinte link :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ex ... y%29%5E15+

Lembrando que temos $x^{15}$ multiplicando $(x+y)^{15}$ temos então que em todas parcelas que contém a base

, o grau de

aumentará em 15 , estamos somando

no expoente da base

.

Conforme o link abaixo :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ex ... y%29%5E15+

Se permanecer dúvidas retorne !

por **Jhennyfer** » Dom Mar 31, 2013 23:04

Muito obrigado, acabaram-se as minhas dúvidas em relação à este assunto.
Quanto ao desenvolvimento, estou bem resolvida, era só essa parte de grau mesmo que eu nunca tinha visto antes.
E o site wolframalpha eu já conhecia, uso sempre, mas valeu a dica! Abraços, e sucesso ;*

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