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por DanielRJ » Sáb Out 30, 2010 20:49
cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia ocupando cinco degraus de modo que em cada degrau fique um rapaz e uma moças.
De quantas maneiras diferentes podemos arruar este grupo?
a)70400
b)1280
c)460800
d)332000
e)625
Bom fiz varias e varias tentativas e a primeira delas foi tentar utilizar a Permutação.
R e M / R e M / R e M / R e M / R e M
pemutei os cincos grupos, os rapazes e as moças, mas nao deu em nada.
Então gostaria de dicas ai valeu pessoal!
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DanielRJ
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por Neperiano » Sáb Out 30, 2010 21:24
Ola
Tentei fazer assim
São 5 lugares então 5 numeros
Emcima podem ser 10 pessoas
Depois 8
6
4
2
Porque sempre 2 vao ficando, entretanto a resposta tambem não fecha, talvez a questão esteja certa, de qualquer forma vou tentar de outra maneira
Atenciosamente
Sómente os mortos conhecem o fim da guerra
"Platão"
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Neperiano
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por 0 kelvin » Dom Out 31, 2010 17:50
Achei o problema interessante (IME 1971?) e vi duas respostas possíveis no google:
Tem dois raciocínios possíveis que chegam na resposta, coincidentemente é a alternativa com o maior número tambem:
Método 1: pegue um lugar e um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras podemos preencher um lugar tendo 5 escolhas possíveis? 5. Mas são dois lugares por degrau e dois grupos de 5 escolhas, então 5 * 5. E ainda duas formas de preencher os dois lugares, AB ou BA, então 5 * 5 * 2. Repita para mais um degrau, mas reduza o grupo de pessoas disponíveis para a escolha, pois uma escolha já foi feita, fica 4 * 4 * 2. No quinto degrau restará uma moça e um rapaz, 1 * 1 * 2. A expressão completa fica
. Que pode ser escrita tambem como
.
Método 2: imagine 5 cadeiras e 5 pessoas, de quantas maneiras podemos preencher as 5 cadeiras com 5 pessoas? Fatorial de 5. Agora dobre o problema, um grupo de 5 pessoas para uma fileira e outro grupo de 5 pessoas para outra fileira. Individualmente são dois 5!. O problema agora é visualizar duas fileiras de 5 cadeiras cada emparelhadas. Uma analogia que pode ser feita é assim, imagina cinco interruptores lado a lado, cada interruptor pode estar ligado ou desligado, assim como cada casal pode ser AB ou BA. Quantas combinações de ligado/desligado podem ser feitas com 5 interruptores lado a lado? Dá um total de 32. No final fica 5! * 5! * 32.
Fundamentalmente os dois métodos são iguais, mas o primeiro é mais manual e o segundo "agrupa" o problema em blocos.
É parecido com uma questão da
Fuvest 2008. A diferença é que na questão da fuvest puseram duas condicionais pra complicar um pouco mais
(mas repara que o enunciado já facilita um pouco ao ordenar os casos já do mais específico para o menos específico, se vc tentar resolver numa ordem diferente da que já foi dada, se enrola todo)
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por DanielRJ » Dom Out 31, 2010 20:59
Bom questãozinha muito chata. eu entendimento foi esse.
1° em cada degrau eu posso
que me dará
.
2° posso permutar os 5 Rapazes nos degraus.
que me dará
3° posso permutar as 5 Moças nos degraus.
que me dará
4° e por fim perutar as pessoas dentro dos degraus.
que me dará
então eu terei:
e obtive isto.
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DanielRJ
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por 0 kelvin » Seg Nov 01, 2010 13:02
1 - permutações de 5 raprazes e de 5 moças, 5! . 5!. Essa parte esta correta.
2 - em cada degrau duas pessoas, como são cinco degraus,
tambem esta correto.
3 - Mas as permutações de pessoas dentro dos degraus não fez sentido.
(escrevi uma besteira sobre permutações na vertical e horizontal)O terceiro 5! parece q vc se confundiu com permutações de degraus ou de casais. Mas aí é repetição a mais. Veja:
[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]
[_] x [_]
5! de um lado representa as permutações entre uma fileira de rapazes, o mesmo do outro lado para as moças. É aquele esquema q vc liga um elemento de um grupo a cada um do outro grupo e repete para todos os elementos, formando aquela visualização com um monte de linhas cruzadas.
Chamando os rapazes de ABCDE e as moças de 12345.
[A] x [1]
[B] x [2]
[C] x [3]
[D] x [4]
[E] x [5]
Vc pode inverter: A1 ou 1A. O terceiro fatorial de 5 parece q vc pensou em trocar a ordem dos casais de cima para baixo ou de baixo para cima. É um pouco difícil, mas explicaria assim: se vc pode começar a preencher os degraus começando por qualquer um, alem de escolher os rapazes e as moças em qualquer ordem que seja, então não há necessidade de calcular mais uma multiplicação, a permutação dos casais formados. O
representa exatamente as inversões da ordem letra x número por degrau. 2 por degrau, cinco degraus então 2 . 2 . 2 . 2 . 2.
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por DanielRJ » Seg Nov 01, 2010 20:13
pow valeu mesmo deu para compreender bem.
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DanielRJ
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Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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