Combinatória

por **vyhonda** » Sáb Nov 20, 2010 13:07

Essa é uma série do OBJETIVO, alguns não consegui resolver, help ..!

(fuvest) - De um poligono convexo P de n lados, calcular o número de poligonos convexos, cujos vértices são vértices de P.

UFMG - O Risco de contrair-se uma determinada doença é proporcional à razão entre o número de pessoas infectadas por essa doença e a população da cidade, nessa ordem. Numa cidade A de 40000 habitantes com 660 infectadas, o risco de contrair-se essa doença é 0,06.
Numa cidade que tem 2% de sua população infectada e em que a constante de proporcionalidade é igual à da cidade A, o risco de contrair-se essa doença é:

(FUVEST) Num torneio de tênis, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos 8 jogadores. Para definir-se a primeira rodada do torneio, realiza-se um sorteio casual que divide os 8 jogadores em 4 grupos de 2 jogadores cada um.

a) No torneio estão inscritos quatro amigos A, B, C e D. Nenhum deles gostaria de enfrentar um dos outros logo na primeira rodada do torneio. Qual a probabilidade de que esse desejo seja satisfeito?
b) Sabendo-se que pelo menos um dos jogos da primeira rodada envolve 2dos 4 amigos, qual a probabilidade condicional de que A e B se enfrentam na primeira rodada?

quem puder ajudar, muito obrigado!

por **alexandre32100** » Seg Nov 22, 2010 14:42

vyhonda escreveu:(fuvest) - De um poligono convexo P de n lados, calcular o número de poligonos convexos, cujos vértices são vértices de P.

Primeira começamos com os poligonos de

lados (triângulos). Devemos escolher

vértices dos

. Isto pode ser feito de $\dbinom{n}{3}$ maneiras. Este mesmo raciocínio vale para qualquer inteiro

com $3\le k \le n$ .
O número que procuramos é $\displaystyle\sum_{k=3}^n \binom{n}{k}=\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{4}+\ldots+\dbinom{n}{n-1}+\dbinom{n}{n}$ .

obs: podemos simplificar esta expressão lembrando do Triângulo de Pascal. De lá temos que $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$ . Portanto, $\displaystyle\sum_{k=3}^n \binom{n}{k}=2^n-\binom{n}{0}-\binom{n}{1}-\binom{n}{2}=2^n-1-n-\left(\dfrac{n^2-n}{2}\right)=\dfrac{2^{n+1}-n^2-n-2}{2}$ (se é que isto ajuda em algum ponto :-P

)

vyhonda escreveu:UFMG - O Risco de contrair-se uma determinada doença é proporcional à razão entre o número de pessoas infectadas por essa doença e a população da cidade, nessa ordem. Numa cidade A de 40000 habitantes com 660 infectadas, o risco de contrair-se essa doença é 0,06.
Numa cidade que tem 2% de sua população infectada e em que a constante de proporcionalidade é igual à da cidade A, o risco de contrair-se essa doença é:

Não entendi bem a questão, mas creio que a resposta seja $2\%$ .

vyhonda escreveu:(FUVEST) Num torneio de tênis, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos 8 jogadores. Para definir-se a primeira rodada do torneio, realiza-se um sorteio casual que divide os 8 jogadores em 4 grupos de 2 jogadores cada um.

a) No torneio estão inscritos quatro amigos A, B, C e D. Nenhum deles gostaria de enfrentar um dos outros logo na primeira rodada do torneio. Qual a probabilidade de que esse desejo seja satisfeito?
b) Sabendo-se que pelo menos um dos jogos da primeira rodada envolve 2dos 4 amigos, qual a probabilidade condicional de que A e B se enfrentam na primeira rodada?

a.
As possibilidades de sorteio dos grupos são $\dfrac{\dbinom{8}{2}\cdot\dbinom{6}{2}\cdot\dbinom{4}{2}\cdot\dbinom{2}{2}\cdot}{4!}=105$ .
As possibilidades dos amigos não se enfrentarem é $2!\times2!\times2!\times2!=32$ .
$\dfrac{105}{32}=3,28125$ ou $32,81\%$ .
b.
To sem tempo para fazer.
Quando puder, posto o que conseguir.
Abraços.

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