Equação Modular

por **baianinha** » Ter Mai 24, 2011 22:15

Como resolvo essa equação modular?
$\left|{x}^{2}-2 \right|\leq2x+1$ ????

por **Molina** » Sex Mai 27, 2011 20:30

Boa noite.

Primeiramente considere o módulo maior ou igual a zero. Assim, temos que:

$\left|{x}^{2}-2 \right|\leq2x+1$

${x}^{2}-2 \leq2x+1$

${x}^{2} -2x -3 \leq 0$

$S_1=\{x \in R / -1 \leq x \leq 3 \}$

E considere o módulo menor que zero temos que:

$\left|{x}^{2}-2 \right|\leq2x+1$

$-{x}^{2}+2 \leq2x+1$

$0 \leq {x}^{2} + 2x -1$

$S_2=\{x \in R / x \leq -1 - \sqrt{2}~e~x \geq \sqrt{2} -1 \}$

Fazendo $S_1 \cap S_2$ obtemos:

$S=\{x \in R / \sqrt{2} -1 \leq x \leq 3 \}$

:y:

por **LuizAquino** » Sex Mai 27, 2011 22:05

Primeiro, vale lembrar que temos a inequação modular $\left|{x}^{2}-2 \right|\leq 2x+1$ e não uma "equação modular".

Como lembrou o colega Molina, nós teremos dois casos:
(i) $x^2 - 2 \leq 2x + 1$ , se $x^2 - 2\geq 0$ ;

(ii) $-(x^2 - 2) \leq 2x + 1$ , se x^2 - 2 < 0

.

Note que isso é equivalente a:
(i) $x^2 -2x - 3 \leq 0$ , se $x \leq -\sqrt{2}$ ou $x \geq \sqrt{2}$ ;

(ii) $x^2 + 2x - 1 \geq 0$ , se $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ .

Resolvendo (i), temos que $S_1 = \{(-\infty,\, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},\, +\infty)\}\cap [-1,\,3] = [\sqrt{2},\, 3]$ .

Já resolvendo (ii), temos que $S_2 = (-\sqrt{2},\,\sqrt{2}) \cap \{(-\infty,\,-\sqrt{2} - 1] \cup [\sqrt{2} - 1,\, +\infty)\}= [\sqrt{2} - 1,\, \sqrt{2})$ .

Desse modo, a solução será $S = S_1 \cup S_2 = [\sqrt{2} - 1,\, 3]$

Vale a pena visualizar a interpretação geométrica dessa inequação, que é ilustrada na figura abaixo.

: interpretacao-geometrica.png (6.53 KiB) Exibido 1622 vezes

Observação
Vale destacar o desenvolvimento abaixo:
$-(x^2 - 2) \leq 2x + 1$
$x^2 - 2 \geq - (2x + 1)$
$x^2 - 2 + (2x + 1) \geq 0$
$x^2 + 2x- 1 \geq 0$

Sugestão
Baianinha, eu gostaria de sugerir que você assista as vídeo-aulas do Nerckie sobre inequações modulares. O endereço do canal é:
http://www.youtube.com/nerckie
Se suas dúvidas persistirem, então poste-as aqui.

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