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Equações através das raízes

por Carolziiinhaaah » Qui Abr 21, 2011 16:19

Se a equação do 2o grau ax^2 + bx + c = 0, a ? 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obter a equação de
raízes:

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Re: Equações através das raízes

por MarceloFantini » Qui Abr 21, 2011 16:30

Lembre-se da fatoração de polinômios: ax^2 +bx +c = a(x - x_1)(x-x_2)

. Troque as raízes pelas que você tem e reescreva em termos dos coeficientes originais.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

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Item a)

por SidneySantos » Qui Abr 21, 2011 17:01

$S = {x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$

$P = {x}_{1}.{x}_{2}=\frac{c}{a}$

${\left({x}_{1}+{x}_{2} \right)}^{2}={\left(-\frac{b}{a} \right)}^{2}$

${{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$

${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-2{x}_{1}{x}_{2}$

${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-2\frac{c}{a}$

${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$

${{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$

x^2 - Sx + P = 0

${x}^{2}-\left(\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}} \right)x+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=0$

${a}^{2}{x}^{2}-\left({b}^{2}-2ac \right)x+{c}^{2}=0$

Editado pela última vez por SidneySantos em Sex Abr 22, 2011 09:26, em um total de 2 vezes.

Um forte abraço e bom estudo!!!

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Item b)

por SidneySantos » Qui Abr 21, 2011 17:45

$S = {x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$

$P = {x}_{1}.{x}_{2}=\frac{c}{a}$

$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}.{x}_{2}}$

$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}=-\frac{b}{c}$

$\frac{1}{{x}_{1}}.\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{a}{c}$

$\frac{1}{{x}_{1}}.\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{a}{c}$

x^2 - Sx + P = 0

${x}^{2}+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0$

$c{x}^{2}+bx+a=0$

Editado pela última vez por SidneySantos em Sex Abr 22, 2011 09:28, em um total de 2 vezes.

Um forte abraço e bom estudo!!!

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Item c)

por SidneySantos » Qui Abr 21, 2011 17:56

$S = {x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$

$P = {x}_{1}.{x}_{2}=\frac{c}{a}$

$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}.{x}_{2}}$

$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{{b}^{2}-2ac}{ac}$

$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}.\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=1$

${x}^{2}-\left(\frac{{b}^{2}-2ac}{ac} \right)x+1=0$

$ac{x}^{2}-\left({b}^{2}-2ac}\right)x+ac=0$

Um forte abraço e bom estudo!!!

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Item d)

por SidneySantos » Sex Abr 22, 2011 09:49

${\left({x}_{1}+{x}_{2} \right)}^{3}={\left(-\frac{b}{a} \right)}^{3}$

${{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}{x}_{2}+3{x}_{1}{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=-\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}$

${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=-\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}-3{x}_{1}{x}_{2}\left({x}_{1}+{x}_{2} \right)$

${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=-\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}-3\frac{c}{a}\left(-\frac{b}{a} \right)$

${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=-\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}+3\frac{bc}{{a}^{2}}$

${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\frac{-{b}^{3}+3abc}{{a}^{3}}$

${{x}_{1}}^{3}.{{x}_{2}}^{3}={\left(\frac{c}{a} \right)}^{3}$

${{x}_{1}}^{3}.{{x}_{2}}^{3}=\frac{{c}^{3}}{{a}^{3}}$

x^2 - Sx + P = 0

${x}^{2}-\left(\frac{-{b}^{3}+3abc}{{a}^{3}} \right)x+\frac{{c}^{3}}{{a}^{3}}=0$

${a}^{3}{x}^{2}+\left({b}^{3}-3abc \right)x+{c}^{3}=0$

Um forte abraço e bom estudo!!!

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