Aritmética modular

por **Lorenzo** » Qui Jun 17, 2010 22:41

Estou com problemas em aritmética modular, por isso estou enviando esta pergunta:

(OBM) Encontre todos os inteiros a > 0 e b > 0 tais que:
4 . 3^a = 11+ 5^b

Na resolução percebi que é analisada a equação módulo 5. Assim:

4 . 3^a = 1 (mod 5) O problema é agora, daí conclui-se que "a" é par, e depois(em outra análise) que "b" também é par, só que eu não entendo como se da essa conclusão. Talvez haja alguma propriedade que não conheço. Por favor explique com detalhes.

por **Tom** » Sex Jul 02, 2010 23:28

Desejamos encontrar as soluções naturais (a,b)

para a equação 4.3^a=11+5^b

Ora, $11+5^b\equiv1\pmod{5}$ , para todo

. Logo $4.3^a\equiv1\pmod{5}$ e como

é inversível a

módulo cinco, então devemos ter $3^a\equiv4\pmod{5}$

Analisando a congruência módulo cinco para as potências de três, temos:

$3^1\equiv3\pmod{5}$
$3^2\equiv4\pmod{5}$
$3^3\equiv2\pmod{5}$
$3^4\equiv1\pmod{5}$

A partir daí as potências vão deixando os mesmos resíduos de modo a concluirmos que:

$3^{4t+1}\equiv3\pmod{5}$
$3^{4t+2}\equiv4\pmod{5}$
$3^{4t+3}\equiv2\pmod{5}$
$3^{4t}\equiv1\pmod{5}$

Assim, como $3^a\equiv4\pmod{5}$ , então : a=4t+2

, com $t\in \mathbb{N}$ ; que equivale a $a\equiv2\pmod{4}$ , isto é,

é par!

Analisemos a equação à luz da congruência em módulo três: Para satisfazer a igualdade devemos ter $11+5^b\equiv0\pmod{3}$ , isto é, $5^b\equiv1\pmod{3}$

Analisando a congruência módulo três para as potências de cinco, temos:

$5^1\equiv2\pmod{3}$
$5^2\equiv1\pmod{3}$
$5^3\equiv2\pmod{3}$
$5^4\equiv1\pmod{3}$

Analogamente, podemos concluir que : $5^{2k+1}\equiv2\pmod{3}$ e $5^{2k}\equiv1\pmod{3}$ . Assim, como $5^b\equiv1\pmod{3}$ , então b=2k

, com $k\in \mathbb_{N}$ , isto é,

é par!

Como a,b

são ambos pares; sem perda de generalidade diremos que : a=2x

e

, com $x,k, \in \mathbb_{N}$ ; então:

$4.3^{2x}=11+5^{2k}\rightarrow 2^2.3^{2x}-5^{2k}=11\rightarrow (2.3^x)^2-(5^k)^2=11$ , isto é, (2.3^x-5^k)(2.3^x+5^k)=11

e como

é primo, devemos ter:

(2.3^x-5^k)=1

(i)

(ii)

já que o primeiro fator é sempre menor que o segundo fator e ambos são naturais devido as condições de contorno do problema.

Somando (i) e (ii) : $4.3^x=12\rightarrow x=1$
Subtraindo (i) de (ii): $2.5^k=10\rightarrow k=1$

Assim só existe um único valor para

e um único valor para

que satisfazem, simultaneamente, a equação. Concluímos, portanto, que (a,b)=(2,2)

é a única solução da equação.

Ps. Dava pra encurtar a resolução, mas como o Lorenzo pediu detalhes, achei melhor pormenorizar para ficar mais claro.

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