Aritmética modular

[Lorenzo]

Estou com problemas em aritmética modular, por isso estou enviando esta pergunta:

(OBM) Encontre todos os inteiros a > 0 e b > 0 tais que:
4 . 3^a = 11+ 5^b

Na resolução percebi que é analisada a equação módulo 5. Assim:

4 . 3^a = 1 (mod 5) O problema é agora, daí conclui-se que "a" é par, e depois(em outra análise) que "b" também é par, só que eu não entendo como se da essa conclusão. Talvez haja alguma propriedade que não conheço. Por favor explique com detalhes.

[Tom]

Desejamos encontrar as soluções naturais para a equação

Ora, , para todo . Logo e como é inversível a módulo cinco, então devemos ter

Analisando a congruência módulo cinco para as potências de três, temos:






A partir daí as potências vão deixando os mesmos resíduos de modo a concluirmos que:







Assim, como , então : , com ; que equivale a , isto é, é par!


Analisemos a equação à luz da congruência em módulo três: Para satisfazer a igualdade devemos ter , isto é,

Analisando a congruência módulo três para as potências de cinco, temos:






Analogamente, podemos concluir que : e . Assim, como , então , com , isto é, é par!


Como são ambos pares; sem perda de generalidade diremos que : e , com ; então:

, isto é, e como é primo, devemos ter:

(i)
(ii)

já que o primeiro fator é sempre menor que o segundo fator e ambos são naturais devido as condições de contorno do problema.


Somando (i) e (ii) :
Subtraindo (i) de (ii):

Assim só existe um único valor para e um único valor para que satisfazem, simultaneamente, a equação. Concluímos, portanto, que é a única solução da equação.





Ps. Dava pra encurtar a resolução, mas como o Lorenzo pediu detalhes, achei melhor pormenorizar para ficar mais claro.