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Sistema de equação, com seno e cosseno, como fazer?

Sistema de equação, com seno e cosseno, como fazer?

Mensagempor Therodrigou » Seg Mar 25, 2019 04:00

Olá, gostaria de pedir ajuda para resolver esse sistema:

1,375*sin(x) + sin(30)*y - 1,5 = 0
- 1,375*cos(x) + cos(30)*y = 0

Resposta:
y = 1,2
x = 40,9

Esse sistema tem solução, foi retirado de uma questão de física, apenas troquei as variáveis para facilitar, conforme a imagem:
https://image.slidesharecdn.com/chapter ... 1510090397
Therodrigou
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Re: Sistema de equação, com seno e cosseno, como fazer?

Mensagempor Gebe » Seg Mar 25, 2019 15:54

Vamos começar isolando sin(x) e cos(x) na 1ª e 2ª equação respectivamente:

\\
sin(x)~=~\frac{1,5-sin(30^\circ)y}{1,375}
\\
\\
\\
\boxed{sin(x)~=~\frac{1,5-0,5y}{1,375}}
\\
\\
\\
\\
cos(x)~=~\frac{-cos(30^\circ)y}{-1,375}
\\
\\
\\
\boxed{cos(x)~=~\frac{\sqrt{3}\,y}{2~.~1,375}}


Agora aplicando a identidade sin²x + cos²x = 1:


\\
sin^2x+cos^2x~=~1
\\
\\\\
\left(\frac{1,5-0,5y}{1,375}\right)^2~+~\left(\frac{\sqrt{3}\,y}{2~.~1,375}\right)^2~=~1
\\
\\
\\
\\
\frac{4~.~(0,25y^2-1,5y+2,25)~+~1~.~(3y^2)}{2^2~.~1,375^2}~=~1
\\
\\
\\
y^2-6y+9+3y^2~=~1~.~(2^2+1,375^2)
\\
\\
\\
4y^2-6y+9-7,5625~=~0
\\
\\
\\
4y^2-6y+1,4375~=~0
\\
\\\\
Aplicando~Bhaskara:
\\\\
\\
\Delta~=~(-6)^2-4.4.1,4375~=~13
\\
\\


\\
y'~=~\frac{6+\sqrt{13}}{2~.~4}~=~\frac{6+\sqrt{13}}{8}~\approx~1,20


\\
y'\,'~=~\frac{6-\sqrt{13}}{2~.~4}~=~\frac{6-\sqrt{13}}{8}~\approx~0,30


Substituindo os valores de "y" nas equações acharemos:


\\
Para~y~=~1,2:~~~sin(x)~=~\frac{36}{55}~~\rightarrow~~\boxed{x~=~40,9^\circ}
\\
\\\\
Para~y~=~0,30:~~~sin(x)~=~\frac{54}{55}~~\rightarrow~~\boxed{x~=~79,1^\circ}


Obs.: Não consegui identificar no problema se há alguma condição que recuse o par (x,y) = (79,1° , 0,30) como solução
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Re: Sistema de equação, com seno e cosseno, como fazer?

Mensagempor Therodrigou » Seg Mar 25, 2019 18:40

Obrigado! O y seria o valor de uma força, apenas o x seria o ângulo!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}