Duvida no determinante

[Angelica Abdalla]

A questão é a seguinte:
Verifcar geometricamente e ilustrar graficamente com exemplos as seguintes propriedades do determinante para matrizes
2 x 2 e 3 x 3:
(i) Se B é uma matriz obtida a partir de A multiplicando uma linha de A por um \alpha escalar > 0; então jdet(B)j = ®jdet(A)j
(ii) Se em uma matriz A uma linha pode ser escrita como uma combinação linear das outras, então det(A) = 0. (No caso 2x2 um vetor será múltiplo do outro. No caso 3 x 3, note que um vetor estará no plano gerado pelos outros dois, o que, visualmente, resultará em um sólido com volume igual a zero).
Resolução:
Definição: O determinante de uma matriz quadrada A=[a_ij ]é definido como:
det??A=?_p???(-1)?^J a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) ?,?
Onde J=J(j_1,j_2,…,j_n)é o número de inversões da permutação (j_1,j_2,…,j_n) e p indica que a soma ocorre sobre todas as permutações de (1,2,...,n) (existem n! permutações).
Podemos fazer as seguintes observações com relação a essa definição.
Obs.: (i) Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha e um, e apenas um, elemento de cada coluna da matriz:
(ii) O determinante também pode ser definido através da fórmula
det??A=?_p??(-1)^J a_(j_1 ) a_(j_2 )…a_(j_n n) ??
Propriedade 3) Se a linha de uma matriz é multiplicada por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante.
Dem.: Segue-se imediatamente da observação (i).
Exemplo: |?(ka&kb@c&d)|=kad-kbc=k(ad-bc)=k|?(a&b@c&d)|
Ou Seja:
Se A=|?(1&2@3&4)|=4-6=-2
Sendo ?=2 o escalar escolhido para multiplicar a primeira linha de A formando assim a matriz:
B=|?(2.1&2.2@3&4)|8-12=-4
Como 2.(-2)=-4 fica provada a primeira propriedade.
ESTOU NO CAMINHO CERTO,
AGUARDO AJUDA OBRIGADA