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Matrizes

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Mensagempor DanielRJ » Qui Set 09, 2010 15:43

Uma matriz real A é ortogonal se A.A^t= In, ondeIn é a matriz identidade e A^t a transposta de A.
Se a Matriz

A=\begin{pmatrix}
   \frac{1}{2} & x  \\ 
   y & z 
\end{pmatrix} é ortogonal, entãox^2+y^2é igual a:

a)1/4
b)1/3
c)1/2
d)3/2
e)2/3

olá pessoal não consigo desenvolver deem uma olh na minha resolução:


\begin{pmatrix}      
   \frac{1}{2} & x  \\    
   y & z 
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
   \frac{1}{2} & y  \\ 
   x & z 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix} fiz as operações e cheguei a isso:

\begin{pmatrix}
   \frac{1}{4}+x^2 & \frac{y}{2}+zx  \\ 
   \frac{y}{2}+zx & y^2+z^2 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

Apartir daqui se estiver correto o que fiz não consigo desenvolver as operações obrigado pessoal até mais.!
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Re: Matrizes

Mensagempor MarceloFantini » Qui Set 09, 2010 17:27

A = \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end {pmatrix}

A^t = \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end {pmatrix}

A \cdot A^t =  \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}

\begin {pmatrix} \frac{1}{4} + x^2 & \frac{y}{2} + xz \\ \frac{y}{2} + xz & y^2 + z^2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}

Podemos extrair três equações:

x^2 + \frac{1}{4} = 1
\frac{y}{2} + xz = 0
y^2 + z^2 = 1

Da primeira: x^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow |x| = \frac{\sqrt{3}}{2}

y +2xz = y + z \sqrt{3} = 0
y^2 + z^2 = 3z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow |z| = \frac{1}{2} \Rightarrow y = - \frac{\sqrt{3}}{2}

\therefore x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Alternativa D.
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Re: Matrizes

Mensagempor DanielRJ » Qui Set 09, 2010 17:57

Fantini obrigado pela resposta. Só que fiquei muito confuso nas operações la no final.
tem como explicar sem usar o modulo?
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Re: Matrizes

Mensagempor MarceloFantini » Qui Set 09, 2010 18:26

O módulo foi apenas questão de rigor. Imaginei que você já soubesse que \sqrt{x^2} = |x| . Ele não altera o resultado final pois, como eu acabei de dizer, |x|^2 = x^2 .
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?