Lei de definição de uma transformação linear!

por **Manoella** » Qui Jan 20, 2011 16:16

Alguém por favor urgente ajude mim a descobrir isso aki
T: ${R}^{2}\rightarrow{R}^{3};$ tal que T(2,1)= (1,2,0) e T (1,1)=(0,-3,5)
Como faço para descobrir a lei de definição de T?

por **Renato_RJ** » Qui Jan 20, 2011 22:20

Manoella e pessoal, cometi um erro ao responder o tópico, mas o colega Luiz postou a resposta correta, por isso resolvi editar a mensagem para não causar confusão em quem busca a resposta.

Abraços,
Renato.

por **LuizAquino** » Sex Jan 21, 2011 09:31

Olá Manoella e Renato_RJ,

O colega Renato_RJ equivocou-se, pois os vetores (2,1) e (1,1) formam sim uma base para $\mathbb{R}^2$ . Note que a equação
$a_{1} \cdot (2,1) + a_{2} \cdot (1,1) = (0,0)$
tem como única solução a_1=a_2=0

, significando portanto que os vetores são L.I. Mas, dois vetores L.I. no espaço vetorial $\mathbb{R}^2$ sempre formam uma base para o mesmo.

Sendo assim, primeiro vamos escrever um vetor (x,y) qualquer em função dos vetores da base. Ou seja, vamos resolver a equação (nas incógnitas k e m):
$k \cdot (2,1) + m \cdot (1,1) = (x,y)$

De onde obtemos o sistema:
$\begin{cases} 2k + m = x \\ k + m = y \end{cases}$

A solução desse sistema é: k=x-y e m=2y-x. Portanto, podemos escrever qualquer vetor (x,y) em função da base da seguinte forma:
(x, y) = (x-y)(2, 1) + (2y-x)(1, 1)

Considerando que T é transformação linear, podemos fazer:
T(x, y) = T((x-y)(2, 1) + (2y-x)(1, 1))
T(x, y) = (x-y)T(2, 1) + (2y-x)T(1, 1)

Substituindo T(2, 1) e T(1, 1) dados:
T(x, y) = (x-y)(1, 2, 0) + (2y-x)(0, -3, 5)

Fazendo as contas, obtemos:
T(x, y)=(x-y, 5x-8y, -5x+10y)

Para conferir a resposta, basta você calcular T(2, 1) e T(1, 1):
$T(2,\, 1)=(2-1,\, 5\cdot 2 - 8\cdot 1,\, -5 \cdot 2+10\cdot 1) = (1,\, 2,\, 0)$
$T(1,\, 1)=(1-1,\, 5\cdot 1 - 8\cdot 1,\, -5 \cdot 1+10\cdot 1) = (0,\, -3,\, 5)$

por **Renato_RJ** » Sex Jan 21, 2011 11:18

Opa, muito grato Luiz !!!

Agora que eu vi o meu erro... É isso que dá fazer contas na madrugada... kkkkkkkkkkk.........

Valeu mesmo Luiz, vou editar o meu post...

Grato,
Renato.