Boa noite. Para resolver essa questão vamos fazer uso de uma desigualdade presente em qualquer triângulo: o lado maior sempre será menor que a soma dos outros dois.
Vamos chamar os lados de

(em ordem crescente, notando que os lados formam uma P.G.).
Agora é só aplicar a desigualdade:



Essa inequação nos dá como resultado o intervalo
![\left]\frac{1-\sqrt{5}}{2} \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[ \left]\frac{1-\sqrt{5}}{2} \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[](/latexrender/pictures/a05a67dc7a982df24d0ff576dc47dd40.png)
.
Mas como sabemos que q > 1, ficamos com:
![q \; \in \; \left]1 \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[ q \; \in \; \left]1 \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[](/latexrender/pictures/a9d5b3d50488f849344068fca9076895.png)
E está ai a resposta. Até a próxima.