Calcular os termos da PG

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Calcular os termos da PG

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Calcular os termos da PG

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 16, 2010 14:16

Numa PG de três termos, o primeiro termo, a razão, o último termo e a soma dos termos formam, nessa ordem, uma PA. Calcule os termos da PG.

gabarito: \left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5}, \frac{27}{5} \right) ou (-1, 1, -1)
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Re: Calcular os termos da PG

Mensagempor Tom » Sáb Jul 03, 2010 00:34

Seja P:\{p_1,p_2,p_3\} uma P.G. de três termos e q a sua razão, conforme o enunciado: p_1,q,p_3,p_1+p_2+p_3 é uma P.A.

Usando uma propriedade de progressão aritmética: 2q=p_1+p_3 e usando a definição de progressão geométrica decorre em:
2q=p_1+p_1q^2, isto é, p_1q^2-2q+p_1=0 (i)

Analogamente, 2p_3=q+p_1+p_2+p_3, isto é, p_3=q+p_1+p_2 e decorre em : p_1q^2=q+p_1+p_1q (ii)

Subtraindo (i) de (ii): q=2p_1+p_1q, isto é, p_1=\dfrac{q}{2+q} (iii) e aplicando tal relação em (i), temos:

\dfrac{q^3}{2+q}-2q+\dfrac{q}{2+q}=0 \rightarrow q^3-2q(2+q)+q=0\rightarrow q^3-2q^2-3q=0, isto é, q(q^2-2q-3)=0

Assim, q=0 ou q^2-2q-3=0 cujas raízes são q=-1 ou q=3


Através de (iii), portanto:

Se q=0, então: p_1=0 e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=p_2=p_3=0

Se q=-1, então: p_1=-1 e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=-1;p_2=1;p_3=-1

Se q=3, então: p_1=\dfrac{3}{5} e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=\dfrac{3}{5};p_2=\dfrac{9}{5};p_3=\dfrac{2 7}{5}

Eis as progressões geométricas:

(0,0,0) ou \left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5}, \frac{27}{5} \right) ou (-1, 1, -1)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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