Valor da soma de n parcelas (PG)

por **Carolziiinhaaah** » Qua Jun 16, 2010 14:07

Mais uma de PG, gente..

Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 + 111 + ... + 111...1 ( n "uns" ).

gabarito: $\frac{{10}^{n+1} - 9n - 10}{81}$

por **Douglasm** » Ter Jun 22, 2010 18:54

Nesse caso, é só reescrevermos da seguinte forma:

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11111(n vezes) = 1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + ...

Deste modo vamos calcular a soma de cada uma dessas progressões (cada um dos fatores). Para o último fator:

$S_n = \frac{1.(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10^n - 1}{9}$

É evidente que para os outros fatores nós teremos:

$S_{n-1} = \frac{10^{n-1}-1}{9} \; ; \; S_{n-2} = \frac{10^{n-2}-1}{9} \; (...)$

Somando isso tudo:

$S_t = \frac{(10^n + 10^{n-1} + 10^{n-2} + (...) + 10) - n}{9}\; \; \; \fbox{1}$

Agora temos uma outra progressão dentro dos parênteses:

$(10^n + 10^{n-1} + 10^{n-2} + (...) + 10) = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10^{n+1} - 10}{9}$

Finalmente, substituindo esse valor em "1":

$S_t = \frac{10^{n+1} - 10}{81} - \frac{n}{9} = \frac{10^{n+1}-9n-10}{81}$

E está ai a resposta.