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Mensagempor solon » Qui Jul 23, 2015 17:57

seja (a1, a2, ..., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q>0. O produto de seus termos é igual a 2^25 e o termo do meio é 2^5. Se a soma dos (n-1) primeiros termos é igual a 2(1+q)(1+q^2), então :
a) a1 + q =16
b) a1 + q =12
c) a1 + q = 10
d) a1 + q + n = 20
e) a1 + q + n = 11
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Re: progressões

Mensagempor solon » Qui Jul 30, 2015 20:03

Como n é ímpar, então o termo do meio é 〖 a〗_((n+1)/2).Digite a equação aqui.
A P.G. proposta é do tipo a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., a_n), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:
a_((n+1)/2 =) √(a_1.a_(n ) ) → a_1.a_n =⁡〖(〖 a〗_((n+1)/2) )^2 〗 → a_1.a_n = (〖 2 〗^5 )^2 → a_1.a_n = 2^10
O produto dos n primeiros termos da P.G. (a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., n ), é dado por P_n= √((〖a_(1 ).a_n )〗^n ) .
Substituindo P_n por 2^25 e a_1. a_n por 2^10 , vem:
P_n = √((〖a_(1 ).a_n)〗^n ) →2^25 = √((〖〖2^10〗_ )〗^n ) → 2^25 = √((〖〖2^n〗_ )〗^10 ) → 2^25 =〖 (2 〗^n )^5 →
2^25 = 2^5n → 5n = 25 → n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ∙ ( 1 + q ) ∙ (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1∙ q^2 → a_1 = a_3/q^2 → a_(1 )= 32/q^2
Segue que:
S_4 = (a_1 ∙ ( q^4 -1 ))/(( q-1 )) → S_4 = (32 ∙ [(q^2 )^2 -1 ])/(q^2 ∙ (q-1)) → S_4 = (32 ∙(q^2-1) ∙ (q^2-1))/(q^2 ∙ (q-1) ) → S_4 = (32 ∙(q^2+ 1) ∙ (q+1) ∙ (q-1))/(q^2 ∙ (q-1) )
Substituindo S_4 por 2∙ (1+q)∙ (1+ q^2 ), vem:
2 ∙ (1+q)∙ (1+q^2 ) = (32 ∙ (q^2+ 1) ∙ (q + 1) ∙ (q - 1))/(q^2 ∙ (q -1) ) → 32/q^2 = 2 → q^2 = 16 → q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por: a_1 = 32/q^2 → a_1 = 32/q^2 → a_1 = 32/4^2 → a_1 = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
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Re: progressões

Mensagempor solon » Sáb Ago 01, 2015 03:48

Como n é ímpar, então o termo do meio é {a}_{\frac{n+1}{2}}.
A P.G. proposta é do tipo ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:{a}_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt[]{{a}_{1}.{a}_{n}}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({\frac{n+1}{2}} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({2}^{5} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = {2}^{10}
O produto dos n primeiros termos da P.G. ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}) , é dado por P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n}. .
Substituindo P_n por {2}^{25} e {a}_{1}.{a}_{n} por {2}^{10}, vem:
P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n} \rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{10})^{n}}\rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{n})^{10}}\rightarrow{2}^{25} = {2}^{5n}\rightarrow 5n = 25\rightarrow n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ∙ ( 1 + q ) ∙ (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1.{q}^{2}\rightarrow  a_1 = \frac{{a}_{3}}{{q}^{2}} \rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}
Segue que:
{s}_{4} = \frac{{a}_{1\left({q}^{4}-1 \right)}}{\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left[\left({{q}^{2}} \right)^{2}-1 \right]}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}-1 \right).\left({q}^{2}-1 \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}
Substituindo{s}_{4} por 2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right)vem:
2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right) = \frac{32.\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow\frac{32}{{q}_{2}} = 2\rightarrow{q}^{2} = 16 → q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por:{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{4}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.