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"Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?"
Se eu tomar dois termos quaisquer: [ap = a1+(p-1)*r] + [aq = a1+(q-1)*r] chego a ap+aq = 2a1+(p+q-1-1)*r mas aí eu "empaco"...a resposta do livro é a1 = k*r, k Inteiro, isto é o primeiro termo da progressão tem que ser múltiplo da razão o que é claro, pois aí qualquer termo será múltiplo de r, assim como a soma de quaisquer termos...só eu não vislumbro os passos de ap+aq = 2a1+(p+q-1-1)*r até a1 = k*r, k Inteiro.
Agradeço uma orientação.
Gratos
Colton
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e 
.
e na do termo geral, apenas 
, assim, 
para que a soma dos dois seja um termo da PA, algo do tipo
onde 
e é claro 
(usei 
para ficar igual à solução do teu livro), afinal não existe o termo 
numa progressão.
algébrica para isso. 
![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)