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Valor da soma de n parcelas (PG)

Valor da soma de n parcelas (PG)

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 16, 2010 14:07

Mais uma de PG, gente..

Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 + 111 + ... + 111...1 ( n "uns" ).

gabarito: \frac{{10}^{n+1} - 9n - 10}{81}
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Re: Valor da soma de n parcelas (PG)

Mensagempor Douglasm » Ter Jun 22, 2010 18:54

Nesse caso, é só reescrevermos da seguinte forma:

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11111(n vezes) = 1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + ...

Deste modo vamos calcular a soma de cada uma dessas progressões (cada um dos fatores). Para o último fator:

S_n = \frac{1.(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10^n - 1}{9}

É evidente que para os outros fatores nós teremos:

S_{n-1} = \frac{10^{n-1}-1}{9} \; ; \; S_{n-2} = \frac{10^{n-2}-1}{9} \; (...)

Somando isso tudo:

S_t = \frac{(10^n + 10^{n-1} + 10^{n-2} + (...) + 10) - n}{9}\; \; \; \fbox{1}

Agora temos uma outra progressão dentro dos parênteses:

(10^n + 10^{n-1} + 10^{n-2} + (...) + 10) = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10^{n+1} - 10}{9}

Finalmente, substituindo esse valor em "1":

S_t = \frac{10^{n+1} - 10}{81} - \frac{n}{9} = \frac{10^{n+1}-9n-10}{81}

E está ai a resposta.
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Re: Valor da soma de n parcelas (PG)

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 23, 2010 17:57

Obrigada Douglas! Você é demais :D
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}