progressões

por **solon** » Ter Jul 21, 2015 01:56

queria que me mostrassem como resolver o seguinte problema: Seja (b1, b2, b3) uma progressão geométrica de razão maior do que 1. Se b1+b2+b3=91 e (b1+25, b2+27, b3+1) é uma progressão aritmética, então b1 é igual a : A resposta correta é 7, mas como chegar a esse resultado ?

por **nakagumahissao** » Ter Jul 21, 2015 11:04

Dados:

$\left({b}_{1}, \,\, {b}_{2}, \,\, {b}_{3} \right) \,\,\,\, PG \,\,\,\, [1]$

$\left({b}_{1} + 25, \,\, {b}_{2} + 27, \,\, {b}_{3} + 1 \right) \,\,\,\, PA \,\,\,\, [2]$

${b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91 \,\,\,\, [3]$

q > 1

A razão da PG em [1] será:

$q = \frac{{b}_{2}}{{b}_{1}} = \frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$

${{b}_{2}}^{2} = {b}_{1} {b}_{3}$

${b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [4]$

A razão na PA em [2] será:

$r = {b}_{2} + 27 - ({b}_{1} + 25) = {b}_{3} + 1 - ({b}_{2} + 27)$

$r = {b}_{2} + 27 - {b}_{1} - 25 = {b}_{3} + 1 - {b}_{2} - 27$

$r = {b}_{2} - {b}_{1} + 2 = {b}_{3}- {b}_{2} - 26$

${b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} + {b}_{2} = - 26 - 2$

$2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} = - 28 \,\,\,\, [5]$

Usando [3] em [5], observamos que:

${b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91$

$2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} = - 28$

eles formam um sistema de equações e que, se somarmos ambas as equações, poderemos encontrar um dos valores. Somemos então as duas equações:

$3{b}_{2} = 63$

${b}_{2} = \frac{63}{3}$

${b}_{2} = 21$

Agora, vamos substituir este valor em [3], [4] e [5]:

${b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91 \Rightarrow {b}_{1} + 21 + {b}_{3} = 91 \Rightarrow$

$\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70 \,\,\,\, [6]$

${b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow {b}_{3} = \frac{{21}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow$

$\Rightarrow {b}_{3} = \frac{441}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [7]$

$2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} = - 28 \Rightarrow 2 \times 21 - {b}_{1} - {b}_{3} = - 28 \Rightarrow 42 - {b}_{1} - {b}_{3} = - 28 \Rightarrow$

$\Rightarrow - {b}_{1} - {b}_{3} = - 70 \Rightarrow$

$\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70 \,\,\,\, [8]$

Usando [7] em [6] ou [8], teremos:

${b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow {b}_{1} + \frac{441}{{b}_{1}} = 70 \Rightarrow$

$\Rightarrow {{b}_{1}}^{2} + 441 = 70{b}_{1} \Rightarrow {{b}_{1}}^{2} - 70{b}_{1} + 441 = 0$

Desta última equação (quadrática) obtemos:

$\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow \Delta = 4900 - 1764 \Rightarrow \Delta = 3136$

$\sqrt[]{\Delta} = 56$

${b}_{1} = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} \Rightarrow$

$\Rightarrow {b}_{1} = \frac{70 \pm 56}{2} = 35 \pm 28$

$\therefore {b}_{1} = 63 \,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\, {b}_{1} = 7$

Com estes dois resultados, vamos agora obter através de [6] ou [8] o valor do terceiro termo da PA e da PG:

Usando 63 para o primeiro termo:

${b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 63 + {b}_{3} = 70 \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 63 \Rightarrow {b}_{3} = 7$

Usando 7 para o primeiro termo:

${b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 7 + {b}_{3} = 70 \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 7 \Rightarrow {b}_{3} = 63$

Agora, ficamos com estas duas possibilidades para a PG e a PA:

RESPOSTA 1:

PG - (63, 21, 7) => Razão: 1/3
PA - (63 + 25, 21 + 27, 7 + 1) = (88, 48, 8) => razão = -40

e

RESPOSTA 2:

PG - (7, 21, 63) => Razão: 3
PA - (7 + 25, 21 + 27, 63 + 1) = (32, 48, 64) => razão = 16

No enunciado, foi dado que a razão (q) deve ser maior que 1 (q > 1). Portanto, a única resposta possível para esta questão deverá ser a RESPOSTA 2, ou seja, o primeiro termo vale 7.

por **solon** » Ter Jul 21, 2015 12:43

valeu! obrigado por mostrar-me os métodos de resolução sobre as dúvidas que tive, assim só engrandece cada vez mais a difusão do conhecimento.

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