Trigonometria - Relações entre razões trigonométricas

por **METEOS** » Seg Set 30, 2013 17:06

Bom dia, caros(as) membros deste fórum.

Como preparação para um teste, há dois exercícios do mesmo género de trigonometria que consistem em relacionar as razões trigonométricas, de forma a provar que um dos membros é igual ao outro.

Enunciado: Sendo x a amplitude de um ângulo agudo, mostra que:

1) sen x + $\frac{cos x}{tg x}$ = $\frac{1}{sen x}$

2) $\frac{cos^2 x}{1-sen x}$ - 1 = sen x

Gostaria que me indicassem a correcção, e posteriormente, truques para a resolução deste género de exercícios

Agradecido,

Luís Soares (couldzao).

por **Russman** » Seg Set 30, 2013 17:41

Bata que você reduza os denominadores da expressões.

Na primeira, note que $\tan (x) = \frac{\sin (x) }{\cos (x)}$ . Assim,

$\sin(x) + \frac{\cos (x) }{\tan (x)} = \sin(x) + \frac{\cos (x) }{\frac{\sin (x) }{\cos (x)}} =\sin(x) + \frac{\cos^2 (x) }{\sin (x)} =$
$= \frac{\sin ^2 (x) + \cos ^2 (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$ .

Na segunda,

$\frac{\cos^2 (x)}{1- \sin (x)} - 1 = \frac{\cos ^2 (x) - 1 + \sin (x)}{1- \sin (x)} = \frac{-\sin ^2 (x) + \sin (x) }{1 - \sin (x)}=$
$=\sin (x) .\left ( \frac{- \sin (x) + 1}{1 - \sin (x) } \right ) = \sin (x) (1) = \sin (x)$

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