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Lei dos cossenos

Lei dos cossenos

Mensagempor kandara » Qua Abr 30, 2014 17:35

Olá, eu aprendi ontem como calcular os lados de triângulos com a Lei dos Cossenos e confesso que não está tão difícil, mas em um dos problemas, uma dúvida me surgiu quanto ao resultado, vejam:

Ex 1. Dados os seguintes elementos de um triângulo ABC: Â = 30º, AB = 8 m, CB = 5 m. Calcule AC.
Certo, eu então desenhei um triângulo qualquer com este ângulo agudo de 30 graus para visualizar melhor o problema, eis o triângulo mal feito:
Imagem

Certo, então o lado b que quero achar, até aí tudo bem, eu fiz o cálculo utilizando a lei dos cossenos:

b² = a² + c² - 2.b.c.cos30°
b² = 8² + 5² - 2.8.5.cos30°
b² = 64 + 25 - 80.cos30°
b² = 89 - 80 cos30
b² = 89 - 40?3
b² = 49?3
b² = 84,87
b = ?84,47
b= 9,19 cm aprox.

Massss... Fui conferir o gabarito desse exercício o o resultado deu: x= 4?3 + 3
Daí eu fiz 4 vezes raiz de 3 mais 3 e deu aproximadamente 9,92. Um resultado maior que o meu, a conta no gabarito está assim:
Imagem

E eu confesso que não entendi bem como chegaram nesse resultado, podem me explicar?
Obrigada.
kandara
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Re: Lei dos cossenos

Mensagempor Russman » Qua Abr 30, 2014 18:54

Pra um triângulo de vértices A, B e C, lados , respectivamente opostos aos pontos, a,b e c a Lei dos Cossenos pode ser escrita de 3 formas:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})

O ângulo que alimenta o cossenos nas formas é o ângulo do vértice oposto ao lado que aparece destacado no lado esquerdo.

Veja que você aplicou a fórmula "para b" atribuindo o ângulo de 30° ao vértice B, que está errado. O ângulo de 30° refere-se ao vértice A.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.