Trigonometria

[shirata]

ai galera eu to resolvendo uns exercícios sobre trigonometria mas esse foi um dos que eu não tive nem ideia, se alguém ai puder dar pelo menos uma ideia de como se faz... desde já agradeço!

(PUC - RS) O limite da soma onde e k pertence aos inteiros, é:

a) a
b) n . a
c) 2n . sen a
d) tg a
e) a

[AndersonClayton]

Então cara, essa questão é simples de resolver, mas como você estava resolvendo exercícios só de trigonometria, talvez não tenha percebido.
Isso é simplesmente uma soma de P.G. infinita cuja razão vale Sen²a.

Temos essa soma:
Sen^2 a + Sen^4 a + ... + Sen^2n a

Ele me dá uma restrição de que K não pode ser 90, 270 ou qualquer outro ângulo côngruo a esses. Claro, por que Sen² 90, ou Sen²270 daria 1, e a soma seria uma soma infinita de termos iguais, no caso, 1.
Mas isso não vem ao caso, é só uma restrição, nem precisa notar isso, ele só diz isso pra que o exercício se torne possível.

Se você separar os termos dessa soma você vai ter:
a1 = Sen^2 a
a2 = Sen^4 a
a3 = Sen^6 a
an = Sen^2n a
Aí você tem que perceber que se trata de uma PG, cuja a razão é Sen^2 a, claro, pois de a1 para a2, basta multiplicarmos a1 por Sen^2 a e teremos o resultado de a2 e assim sucessivamente.

Pronto, a questão acabou aí.
Como eu disse, isso é uma soma de PG Infinita e a fórmula é: S = a1/(1-q)
Você tem a1 e descobriu que q = Sen^2 a

S = Sen^2 a/(1 - Sen^2 a)
Só que pela relação fundamental da trigonometria a gente tem: Sen^2 a + Cos^2 a = 1, e isolando o Cos^2 a, temos: Cos^2 a = 1 - Sen^2a
Então: S = Sen^2 a /Cos^2 a = tg^2 a
Espero ter ajudado!