Equação Trigonometrica

por **joaofonseca** » Seg Nov 28, 2011 00:38

Dada a função $2 \cdot sin(2x+\frac{\pi}{2})$ encontrei os dados para desenhar o grafico.

Amplitude

É o valor absoluto do fator que multiplica o seno. Ou seja, 2. Quer dizer que o contradomidio será [-2,2]

.

Periodo

O periodo da função elementar sin(x)

é $2\pi$ , mas como a variavel independente multiplica por 2.Então o periodo desta função será $\pi$ .

Ãngulo de desfasamento

O valor do desfasamento será $\frac{\pi}{4}$

Tudo bem,até agora!Mas o livro de exercicios pergunta quais os pontos de interseção com a função sin(x)

no intervalo de $[0,2\pi]$ .

Ou seja pede para resolver a equação $2 \cdot sin(2x+\frac{\pi}{2})=sin(x)$ .
Eu não sei por onde começar, pois os ãngulos não são iguais.De um lado temos $2x+\frac{\pi}{2}$ do outro

.

Alguém me ajuda?Obrigado

por **TheoFerraz** » Seg Nov 28, 2011 14:26

queremos então resolver a seguinte

$2sin(2x + \frac{ \pi}{2})= sin(x)$

duas coisas podemos fazer, vamos pela mais obvia... Expanda o termo da esquerda como uma soma de arcos, lembrando que

$sin( \theta + \phi) = sin(\theta)cos(\phi) + sin(\phi)cos(\theta)$

otimo, já da pra tentar né ?

$2sin(2x + \frac{ \pi}{2}) = 2 \left( sin(2x)cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + sin\left( \frac{\pi}{2} \right)cos(2x) \right) = sin(x)$

o mais lindo de tudo é que pi/2 vai zerar algumas coisas e vai fazer virar 1 outras... dai voce tem algo bem simples.

caso necessario use :

$sin( \alpha) = \pm \;\; \sqrt[]{1- {cos}^{2}(\alpha)}$

divirta-se

por **joaofonseca** » Seg Nov 28, 2011 20:23

Obrigado pela ajuda.
Depois de aplicar a formula da soma eu cheguei ao seguinte:
2cos(2x)=sin(x)

Depois apliquei a formula do ângulo duplo e assim obtive uma expressão quadratica:
4sin^2(x)+sin(x)-2=0

Como aparentemente esta expressão não é fatorável.Apliquei a formula de bhaskara.Obtive:

$sin(x)=-0.843 \vee sin(x)=0.593$

Apliquei a inversa do seno e obtive (radianos):

$x=-1 \vee x=0.635$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 28, 2011 21:43

joaofonseca escreveu:Como aparentemente esta expressão não é fatorável.Apliquei a formula de bhaskara.Obtive:

$sin(x)=-0.843 \vee sin(x)=0.593$

Apliquei a inversa do seno e obtive (radianos):

$x=-1 \vee x=0.635$

Bem legal isso que voce fez! Eu não usaria isso! foi bem legal!

mas tome um cuidado!

ao aplicar a função inversa em um sin(x) = B

voce precisa obter duas respostas!

Existem sempre dois angulos x que tem um seno específico....

Voce sabe como achar o outro tendo um! Transponha os quadrantes!

um angulo no primeiro quadrante terá um seno igual à sua equivalencia no segundo quadrante!

e um angulo no terceiro quadrante terá um seno igual à sua equivalencia no quarto quadrante!

está acompanhando? sinto que estou sendo levemente negligente, mas vi que voce tem raciocínio rápido!

seu resultado está correto porém incompleto... existem mais 2 respostas

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ATENÇÂO: Por mais que a figura esteja mostrando 5 pontos, perceba que o primeiro e o ultimo são o mesmo...

por **joaofonseca** » Seg Nov 28, 2011 23:29

As soluções dizem respeito aos angulos de referência.Sendo o seno uma função periodica, existirão infinitas soluções.
Mas para efeitos académicos, decidi fazer uma pequena alteração à expressão anterior.Em vez de ter amplitude 2, terá amplitude 1 e por isso fica assim:

$sin(2x+\frac{\pi}{2})=sin(x)$

Aplicando sucessivamente a identidade da soma e do duplo angulo, fica:

1-2sin^2(x)=sin(x)

Como se pode verificar, já se pode fatorar com facilidade.

(2sin(x)-1)(sin(x)+1)=0

$sin(x)=\frac{1}{2} \vee sin(x)=-1$

Estes valores já nos fazem lembrar dos angulos notaveis (aqueles angulos para os quais devemos saber os valores)
Assim:
$x=\frac{\pi}{6} \vee x=\frac{3\pi}{2}$

Estas são as soluções no intervalo $[0,2\pi]$ .Se quisermos saber todas as soluções escrevemos:

$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ em que k pertence aos numeros inteiros.