heroncius escreveu:uma empresa de transporte estabelece por viagem o preço individual da passagem (p) em função da quantidade (q) de passageiros através da relação p= -0,2 q + 100. com 0<q<500.nestas condições para q a quantia arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja máxima, o preço da passagem deve ser , em reais de:
a)45 b)35 c)40 d)50 e)55
desde já agradeço a atenção!!!
Paulo Herôncio
Olá Paulo.
Este é um problema de otimização.
Primeiro temos que destacar que a
quantia arrecadada em cada viagem é o produto
, ou seja, o preço de cada passagem multiplicado pelo número de passageiros.
: quantia arrecadada em cada viagem
Note que este é o valor que queremos maximizar em nossa otimização.
Como:
Vamos chamar esta função da arrecadação de
.
Como é uma função em
, temos:
: função arrecadação
Veja que
é uma função do segundo grau, formando uma parábola côncava para baixo porque o coeficiente de
é negativo.
Esta informação garante que
possui um máximo.
Você já deve ter visto que o valor máximo de uma função do 2º grau:
É dado por:
De qualquer forma, tendo ou não visto, veja como é simples chegarmos à esta conclusão:
As raízes da função de 2º grau são:
e
(considerando
)
O valor máximo de
será dado quando
x for a média
aritmética entre as raízes
e
(olhe um gráfico de parábola).
(repare que caso a parábola seja côncava para cima, a função possuirá valor
mínimo e o cálculo será análogo)
Voltando para a função arrecadação:
Então, seu valor máximo será quando:
(passageiros)
E por fim, respondendo à questão, precisamos saber qual o preço da passagem para esta quantidade de passageiros:
Reais
(alternativa d)Paulo, dois comentários:
1) repare que o intervalo citado no enunciado
é justamente o intervalo entre as raízes da função arrecadação.
Esta condição da quantidade passageiros garante que a arrecadação fique sempre positiva!
2) Uma outra pergunta que poderia ser feita e facilmente respondida após esta resolução é a seguinte:
Qual então será a arrecadação máxima obtida pela empresa em cada viagem?
Como sabemos que:
Então:
(Reais)
Espero ter ajudado.
Abraço!