Função - DÚVIDA

por **fraam** » Sáb Abr 14, 2012 18:12

Para que valores de a,b,c,d a função f(x)= $\frac{ax+b}{cx+d}$ satisfaz f(f(x))=x , $\forall$ x

Eu tinha feito o seguinte:
$\frac{a(ax+b)+b(cx+d)}{c(ax+b)+d(cx+d)}=x$
Daí $\frac{x(a²+bc)+b(a+d)}{x(ac+dc)+(bc+d²)}=x$
Como no denominador não poderia ter x,fiz que ac+dc = 0 e obtive que a=-d
Enfim,fiquei parada nisso,alguém tem alguma sugestão de como resolver isso?
Obrigada

por **DanielFerreira** » Sáb Abr 14, 2012 18:56

Seguindo de onde parou...
$\frac{(a^2 + bc)x + ab + bd}{(ac + cd)x + bc + d^2} = x$

Além do coeficiente de x (denominador) ser zero, o termo independente do numerador também é zero.

Então,
$\frac{(a^2 + bc)x}{(bc + d^2)} = x$

(a^2 + bc)x = (d^2 + bc)x

ab + bd = 0
ac + cd = 0

b(a + d) = 0 =========> $b = \frac{0}{(a + d)}$ ========> $b = \frac{0}{0}$ , ou seja, indeterminado!

c(a + d) = 0 =========> $c = \frac{0}{(a + d)}$ ========> $c = \frac{0}{0}$ , ou seja, indeterminado!

Podemos concluir que quando (a + d) = 0, b e c pode assumir diversos valores. Quero dizer que:
escolha um valor qualquer para a, o valor de d deverá ser o simétrico de a (lembre-se que a soma deles é zero), escolha um valor qualquer para b, e um valor qualquer para c.

Agora Fraam, termine o exercício quando a = d

Espero ter ajudado, caso contrário, sinta-se à vontade para retornar!

por **fraam** » Sáb Abr 14, 2012 19:39

danjr5 escreveu:Seguindo de onde parou...
$\frac{(a^2 + bc)x + ab + bd}{(ac + cd)x + bc + d^2} = x$

Além do coeficiente de x (denominador) ser zero, o termo independente do numerador também é zero.

Então,
$\frac{(a^2 + bc)x}{(bc + d^2)} = x$

ab + bd = 0
ac + cd = 0

b(a + d) = 0 =========> $b = \frac{0}{(a + d)}$ ========> $b = \frac{0}{0}$ , ou seja, indeterminado!

c(a + d) = 0 =========> $c = \frac{0}{(a + d)}$ ========> $c = \frac{0}{0}$ , ou seja, indeterminado!

Podemos concluir que quando (a + d) = 0, b e c pode assumir diversos valores. Quero dizer que:
escolha um valor qualquer para a, o valor de d deverá ser o simétrico de a (lembre-se que a soma deles é zero), escolha um valor qualquer para b, e um valor qualquer para c.

Agora Fraam, termine o exercício quando a = d

Espero ter ajudado, caso contrário, sinta-se à vontade para retornar!