por Russman » Sex Ago 30, 2013 14:38
De forma simples podemos tomar a=b=1. Assim, de acordo com a propriedade
f(1+1) = f(1).f(1) ==> f(2) = 9.9 = 81
Agora, tomando a=2 e b=1, temos
f(2+1) = f(2).f(1) = 81.9 = 729 .
Note que se você supor f(x) = c. e^(kx), onde f: R->R , c e k constantes reais quaisquer, então
f(a+b) = c.e^(k(a+b)) = c.e^(ka+kb) = c.e^(ka).e^(kb)
f(a).f(b) = c.e^(ka).c.e^(kb) = c^2 .e^(ka).e^(kb)
A igualdade f(a+b) = f(a).f(b) se verifica para c^2 = c. Isto é, c=1 pois a solução c=0 é a trivial. O valor k se relaciona com f(1), pois f(1) = e^k. Logo, f(x) = f(1)^x. Como esperávamos.
Logo, como de esperado, verificamos que a função exponencial tem essa propriedade de levar uma soma a um produto.
Mas, se estivéssemos interessados em deduzir a solução exponencial ao invés de sugeri-la, poderíamos tomar a+b = t, onde t é um valor variável. Assim, b = t-a e daí
f(a+b) = f(a).f(b)
f(t) = f(a).f(t-a)
Fazendo a=1, pois conhecemos f(1), podemos escrever, chamando f(1) = f1, ganhando generalidade
f(t) = f1.f(t-1)
ou , ainda,
f(t) - f1 f(t-1) = 0
Note q esta equação é uma equação de recorrência que relaciona as imagens de t com as suas anteriores ( para t inteiro que isso faz sentido).
Sugerindo a solução f(t) = c m^t, onde c em são reais, chegamos em
c.m^t - f1 c m^t/m = 0
donde
c.m^t ( 1 - f1 c/m) =0
e, portanto, já que c é diferente de 0,
1= f1 c/m ==> c=m/f1
Assim, f(t) = m/f1 . m^t ==> f(t) = (1/f1) m ^(t+1)
De fato, a solução que chegamos é uma exponencial. Reaplicando a propriedade inicial
f(a+b) - f(a).f(b)=0
(1/f1) m^(a+b+1) - (1/f1) m ^(a+1).(1/f1) m ^(b+1)=0
(1/f1)m^a . m^b( m - m^2/f1) = 0
donde m = f1 é a solução não trivial. Logo, a função se resume para f(t) = f1^t como obtivemos anteriormente.
"Ad astra per aspera."