[Função de primeiro grau] Nem sei por onde começar '-'

por **Cosma** » Qui Abr 11, 2013 20:54

Olá galera! Acabei de me inscrever aqui e necessito de ajuda para resolver algumas funções de primeiro grau. Receio que não tenha visto esse tema com a devida profundidade pois não faço ideia nem por onde começar. O exercício diz o seguinte:

É dado que f(x) > 0, para todo x real, f(1) = 3 e f(u + v) = f(u) . f(v), para quaisquer números reais u e v. Calcule:

a.) f(2)
b.) f(0)
c.) f(1/2)

Eu tentei montar algum tipo de sistema para achar valores de u e v, mas percebi que não é por ai que devo começar, pois fazendo

u + v = 1
u . v = 3

onde, v = 1 - u
e substituindo u . (1 - u) = 3
simplificando e resolvendo, eu chego na equação de segundo grau - u² + u - 3, onde o delta é negativo, não possuindo raízes reais.

Não faço ideia do que fazer, por favor, me ajudem =(

por **e8group** » Qui Abr 11, 2013 21:53

Podemos Tomar u=v= 1

;assim

.

Como

,concluímos que f(2) = ...

. Qual a resposta ?

E com respeito a f(0)

? Podemos tomar u = 0

e

;assim ,

,logo

e qual seria a resposta ?

E f(1/2)

,como ficaria ??

por **Russman** » Qui Abr 11, 2013 23:41

A função que satisfaz essa propriedade

f(u+v) = f(u) . f(v)

é a função exponencial! (:

Veja que se $f(x)= e^{kx}$ , onde

é uma constante real, temos então

$f(u+v) = e^{k(u+v)} = e^{ku+kv} = e^{ku} . e^{kv} = f(u) . f(v)$

Basta determinar o valor de

usando a informação f(1) = 3

.

$f(1) = e^{k} = 3$

Portanto, k = ln(3)

e então podemos determinar a função f(x) = 3^x

.

Agora basta substituir os valores de

e voce terá os valores das funções.

Claro que o método do amigo ali de cima é mais geral, mas eu achei que valia a pena ressaltar essa observação.

por **Cosma** » Sáb Abr 13, 2013 12:37

Aah, entendi agora!

Tratando-se de uma função, podemos jogar valores para u e v e disso descobrimos a constante que é a função exponencial igual nosso amigo disse.

Se ${f}^{2}(1)$ e f(1) = 3

a gente conclui que ${3}^{1} = 3$

logo $f(2) = {3}^{2}= 9$
e $f(0) = {3}^{0} = 1$

E o ${3}^{\frac{1}{2}}$ seria, transformando em raiz ficaria $\sqrt[2]{3}$ , correto?