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Mensagempor DdSzK » Dom Ago 25, 2013 20:35

Se a>0 então a reta y(x)=2ax-a^2 intercepta a parábola z(x)=x^2

Escolher uma resposta.

a) em nenhum ponto.
b) depende do valor de a.
c) ortogonalmente.
d) em dois pontos distintos.
e) em exatamente um ponto.
DdSzK
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Re: Questão

Mensagempor Russman » Seg Ago 26, 2013 02:57

Só calcular para qual x que y(x) = z(x). Isto é, para qual x que 2ax - a^2 = x^2.

basta resolver a equação.

2ax - a^2 = x^2
x^2 - 2ax + a^2 = 0
(x-a)^2 = 0
x=a.

Logo a reta intercepta a parábola em um único ponto. Isto é, a reta é tangente a parábola em x=a. Note que isto faz sentido, pois a derivada de z(x) é 2x. Assim, uma reta tangente a z(x) em x=x_0 e da forma y(x) = 2x_0x+b onde b = z(x_0) pois y(x_0) = z(x_0) \Rightarrow 2x_0^2 +b = x_0^2 \Rightarrow b = -x_0^2. Como x_0 = a, então y(x) = 2ax - a^2.

(:
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Re: Questão

Mensagempor DdSzK » Seg Ago 26, 2013 14:08

Opa!
Vlw pela resolução, cara!
Até pensei nisso mas nao sabia o que fazer com o resultado... Hehe
Obrigado novamente :D
DdSzK
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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