Problema envolvendo função

por **thomaswpp** » Qua Jul 24, 2013 19:37

(PUC-RJ) João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro
possui. Em seguida, Pedro dá a João tantos reais quanto
João possui. Se terminaram com R$180,00 cada um,
quantos reais cada um deles possuía inicialmente?

a) João possuía R$100,00 e Pedro R$80,00.
b) João possuía R$200,00 e Pedro R$225,00.
c) João possuía R$135,00 e Pedro R$280,00.
d) João possuía R$225,00 e Pedro R$135,00.
e) João possuía R$100,00 e Pedro R$135,00.

Resposta: D

é fácil deduzir a resposta, mas eu não conseguir montar um sistema para responder essa questão, assim poderei responder outras do mesmo tipo:
Eu tentei criar um sistema do primeiro grau igualando as variáveis, mas não conseguir entender e nem montar o sistema.
Agradeceria uma explicação para melhor compreensão de resolver o problema.

por **Russman** » Qua Jul 24, 2013 20:55

Primeiramente tomemos que a quantia em reais é dada por uma função x=x(n)

onde

é uma variável que indica a vez-troca de dinheiro. Portanto, de início, João tem x_J(0) = x_Jo

reais e Pedro x(0) = x_Po

reais.
Se João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro tem, então x_J(1) = x_Jo - xP_o

e

. Se, em seguida, Pedro dá a João tantos reais quanto João possui, então x_P(2) = 2 x_Po - x_Jo + x_Po = 3 x_Po - x_Jo

e

.

Se cada um terminou com 180 reais, então x_P(2) = x_J(2) = 180

e o sistema de equações apresenta-se como

$\left\{\begin{matrix} 3 x_Po - x_Jo = 180\\ - 2x_Po + 2xJ_o = 180 \end{matrix}\right.$

onde a solução é x_Po = 135