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Função composta

Função composta

Mensagempor Lenin » Sex Mai 03, 2013 00:47

(MACK/SP) As funçoes f e g são dadas por f(x) = {a}^{x} + {b}^{x} e g(x) = \frac{f(x)}{f(x-2)}. Então g(3) é igual a;
A) {a}^{2} + {b}^{2}
B) {a}^{2} - {b}^{2}
C) {(a+b)}^{2}
D) {(a-b)}^{2}
E) {a}^{2} - ab + {b}^{2}

estou com dificuldades com esta questão..a resposta no meu gabarito é letra E) mas eu só consigo encontrar letra A), alguém poderia me da uma ajudinha?
Lenin
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Re: Função composta

Mensagempor DanielFerreira » Dom Mai 05, 2013 13:14

Lenin,
boa tarde!

Calculemos g(3).

\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(3 - 2)} \\\\\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(1)}

Para encontrar o valor em questão devemos calcular f(3) e f(1).

Segue, \\ f(x) = a^x + b^x \begin{cases} f(3) = a^3 + b^3 \\ f(1) = a + b \end{cases} \\

Com isso,

\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(1)} \\\\\\ g(3) = \frac{a^3 + b^3}{a + b} \\\\\\ g(3) = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a + b} \\\\\\ g(3) = \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{\cancel{a + b}} \\\\ \boxed{\boxed{g(3) = a^2 - ab + b^2}}

Nota:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Espero ter ajudado!
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Re: Função composta

Mensagempor Lenin » Dom Mai 05, 2013 14:56

danjr5 escreveu:Lenin,
boa tarde!

Calculemos g(3).

\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(3 - 2)} \\\\\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(1)}

Para encontrar o valor em questão devemos calcular f(3) e f(1).

Segue, \\ f(x) = a^x + b^x \begin{cases} f(3) = a^3 + b^3 \\ f(1) = a + b \end{cases} \\

Com isso,

\\ g(3) = \frac{f(3)}{f(1)} \\\\\\ g(3) = \frac{a^3 + b^3}{a + b} \\\\\\ g(3) = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a + b} \\\\\\ g(3) = \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{\cancel{a + b}} \\\\ \boxed{\boxed{g(3) = a^2 - ab + b^2}}

Nota:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Espero ter ajudado!


pocha cara, tinha me esquecido de coisas simples..abração brother..obrigado pela ajuda
Lenin
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.