Soma de Dois Radicais Cúbicos

por **sony01** » Sex Abr 27, 2012 12:10

A expressão $x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$ é múltiplo de 4. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matemáticamente.

Cálculo

Eu sei que: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

$x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3$

$x^3 = 20 + \not 14 \sqrt{2} + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^2 \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot$ $(\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^2 + 20 - \not 14 \sqrt{2}$

$x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]$

$x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{400 - 392}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]$

Mas, $x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$ , então eu posso substituir:

$x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot x$
x^3 = 40 + 6x

$(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16) - 6(x - 4) = 0$
$(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16 - 6) = 0$
$(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 10)$

Resolvendo (x - 4):

x - 4 = 0

Logo, verdadeira!
Pessoal, primeiramente gostaria de saber se existe algum modo "mais fácil" de se chegar a este resultaldo, também gostaria de saber o nível dessa questão de 1 a 10 tendo como base um aluno do 9º ano.

Desde já Agradeço!

Soma de Dois Radicais Cúbicos

Soma de Dois Radicais Cúbicos

Soma de Dois Radicais Cúbicos

Quem está online