Lógica - OBM de 1997

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 04:27

Seja f uma função definida para todo x real, satisfazendo as condições:
f(3)=2

f(x+3)=f(x).f(3)

, f(-3) vale:

a)

b)

c) $\frac{1}{2}$

d)

e)

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 06:36

Grande Abelardo.. Quanto tempo hein ?!

Bem, chega de piadinhas de madrugada e vamos ao que interessa !!

Seguinte, posso ter errado em algo, mas eu acho que é o seguinte, se f(3) = 2 e sabendo que f(x+3) = f(x) * f(3), podemos concluir o seguinte:

$f(0 + 3) = f(0) \cdot f(3)$ Mas f(3) = 2, logo: f(0) = 1

Seguindo a lógica, teremos:

$f(6) = f(3 + 3) = f(3) \cdot f(3) = 2 \cdot 2 = 4$
$f(9) = f(6 + 3) = f(6) \cdot f(3) = 4 \cdot 2 = 8$
$f(12) = f(9 + 3) = f(9) \cdot f(3) = 8 \cdot 2 = 16$
$f(15) = f(12 + 3) = f(12) \cdot f(3) = 16 \cdot 2 = 32$

Perceba que há um padrão, que é a potência de 2, veja:

f(0) = 1 = 2^0

Então, podemos supor que $f(-3) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ .

Acredito eu que a sua resposta seja a letra c..

[ ]'s
Renato.

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 12:31

Super certo, só a galera mesmo hein!
Lembra-se da questão sobre a prova da existência de um número racional entre r1 e r2? viewtopic.php?f=106&t=3992

Não achei a prova de Cantor.. poderias falar, ou melhor, apresentar o raciocínio?

por **MarceloFantini** » Seg Mar 07, 2011 13:36

Renato, sou contra seu argumento de indução. Você avaliou o crescimento para um lado, o que não necessariamente implica o mesmo para o outro.

f(0)=1

$f(-3+3)=f(-3)f(3) \therefore f(0) = f(-3)f(3) \Rightarrow f(-3) = [f(3)]^{-1} = \frac{1}{2}$

Isso me dá mais segurança na resposta do que "supor" que a tendência é a mesma no outro sentido.

Abraço.

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 15:13

Fantini, você tem razão, supor é muito forte, mas como eu tinha visto um padrão me senti seguro na suposição... Abelardo, o Fantini postou uma resposta mais rápida e elegante, sugiro que a estude (como acabei de fazer.. hehehe... Também tenho o direito de aprender com os meus erros, não ?! ).

[ ]'s
Renato

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