[Inequação] Menor Inteiro Positivo

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[Inequação] Menor Inteiro Positivo

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[Inequação] Menor Inteiro Positivo

Mensagempor CJunior » Qui Fev 06, 2014 21:37

(OCM/ITA) Qual é o menor inteiro positivo n tal que \sqrt[2]{n}-\sqrt[2]{n-1}<0,01?
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Re: [Inequação] Menor Inteiro Positivo

Mensagempor e8group » Qui Fev 06, 2014 22:16

Dica :

Faça uma substituição k = \sqrt{n} , logo n = k^2 e assim , a desigualdade se escreve como

k - \sqrt{k^2 - 1} < 10^{-2} ou ainda k - 10^{-2} < \sqrt{k^2 -1} .Pelo que o lado esquerdo da inequação é um número positivo então podemos elevar ambos lados ao quadrado e após simplificações obterá a solução que nos permite analisar o menor natural .
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Re: [Inequação] Menor Inteiro Positivo

Mensagempor e8group » Qui Fev 06, 2014 22:30

Outra forma é multiplicar a desigualdade por 10^2 \cdot (\sqrt{n} + \sqrt{n-1}) e utilizar que \sqrt{n} > \sqrt{n-1} implicando 2 \sqrt{n} > \sqrt{n} + \sqrt{n-1} > 100 .
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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